Учебная работа. Временные ряды
Временные ряды
Задание
. построить график
. Провести предварительный анализ:
·проверить на анормальности методом Ирвина,
·проверить на наличие тренда методом Фостера-Стьюарта,
·сгладить уровни ряда методом простой скользящей средней.
3. Найти параметры линейной регрессии y = a+bt (пятью способами). Проверить на адекватность по 4 свойствам (критерии пиков, R/S-критерий, t-критерий, критерий Дарбина-Уотсона) и точность (среднюю относительную ошибку аппроксимации А, среднее квадратическое отклонение S, коэффициент и индекс корреляции r/p, коэффициент детерминации R2). построить график линейной регрессии.
. Найти параметры нелинейных регрессий (полинома 2 порядка, гиперболу y = a+b/x, показательную, степенную). Проверить их на адекватность и точность. построить графики нелинейных регрессий.
. Построить адаптивную модель Брауна. Проверить на адекватность и точность. Все исследования оформить в аналитической записке и выбрать наилучшую модель. Составить прогноз на 10 и 11 моменты времени.
t123456789y(t)111618222830363843
Решение:
1.Построим график:
. Проведем предварительный анализ:
Используем критерий Ирвина. Рассчитываем:
где σy — среднеквадратическое отклонение:
Среднее Находим среднеквадратическое отклонение
Таблица 2
Расчетная таблица
№ наблюденияY(t)111252,46216118,570,45931879,010,18342223,900,3675281,230,5506309,680,18373683,010,550838123,460,183943259,570,459Сумма242950,89
Из таблицы 2 видно, что ни одно из значений λt не превышает критического значения 1,5, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.
·проверим на наличие тренда методом Фостера-Стьюарта
Статистики критерия имеют вид
,
Где
если , то , в противном случае
если , то , в противном случае
Статистика используется для проверки тренда в дисперсиях, статистика — для обнаружения тренда в средних.
При отсутствии тренда величины
и ,
где ,
имеют распределение Стьюдента <#"8" src="/wimg/17/doc_zip22.jpg" /> степенями свободы. Формулы для и применимы при , их значения при приведены в таблице.
Если , то с доверительной вероятностью нулевая гипотеза существования тренда принимается, в противном случае гипотеза отвергается. ( — -квантиль распределения Стьюдента).
Таблица 1
Вспомогательная таблица
tytmtltdS11121610113181011422101152810116301011736101183810119431011= 8; D = 8
Так как , то, следовательно, гипотеза H0 принимается, тренд есть.
·сгладить уровни ряда методом простой скользящей средней
Трехточечная скользящая средняя:
недостаток метода заключается в том, что уровни в начале и конце ряда определяются условно.
Для 3-х точек:
;
. Найдем параметры линейной регрессии y = a+bt (пятью способами)
·С использованием мастера диаграмм:
·С использованием поиска решений:
Отведем под переменные а1 и а0 ячейки А16 и В16 соответственно, а в ячейку Е11 введем минимизируемую функцию:
= СУММ(E2:E10),
которая вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.
Выберем команду Сервис, Поиск решения и заполним диалоговое окно Поиск решения. Отметим, что на переменные а1 и а0 ограничения не налагаются.
Рис. 1. Организация исходных данных в книге Excel для применения функции Поиск решений
В результате вычислений получены значения переменных:
а0 = 7,0556, а1 = 3,9666.
Линейную модель
·С использованием системы нормальных уравнений:
,
Таблица 2
Вспомогательная таблица
tyt2ty11111121643231895442216885282514063036180736492528386430494381387452422851448
откуда находим a0 и a1:0 = 7,0561 = 3,967
таким образом,
·С использованием матричных функций;
Матрица X:
111213141516171819
=94545285
=0,527778-0,08333-0,083330,016667
=2421448
7,0563,967
Уравнение регрессии:
·С использованием функции ЛИНЕЙН:
·С использованием анализа данных — регрессия
Проверим на адекватность по 4 свойствам: критерии пиков Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
Рис. 4 — График остатков В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 6. критическое число поворотных точек для a = 0,05 и n = 9 определяется по формуле
Так как p>q, остатки признаются случайными. R/S-критерий Оценка адекватности построенной модели по соответствию нормальному закону распределения осуществляется по RS-критерию:
emах = 1,178, emin = -0,956 Тогда Расчетное критическими границами, следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна. t-критерий
Критическое значение . Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение. Критерий Дарбина-Уотсона Оценка адекватности построенной модели по свойству независимости остаточной компоненты определяется по d-критерию Дарбина-Уотсона (проверяется наличие/отсутствие автокорреляции). Таблица 3 Расчетная таблица Y(t)11111,022-0,0220,00021614,9891,011-0,0221,0331,0681,02231818,956-0,9561,011-1,9673,8680,91342222,922-0,922-0,9560,0330,0010,85052826,8891,111-0,9222,0334,1341,23563030,856-0,8561,111-1,9673,8680,73273634,8221,178-0,8562,0334,1341,38783838,789-0,7891,178-1,9673,8680,62294342,7560,244-0,7891,0331,0680,060Сумма242242,0000,000-0,2440,26722,0096,822
Расчетное поскольку , то имеют отрицательную автокорреляцию. Оценка точности модели Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
Результаты расчета представлены в таблице. Таблица 4 Расчетная таблица наблюдение111-0,0220,0220,0022161,0111,0110,063318-0,9560,9560,053422-0,9220,9220,0425281,1111,1110,040630-0,8560,8560,0297361,1781,1780,033838-0,7890,7890,0219430,2440,2440,006Сумма0,288
Средняя относительная ошибка построенной модели равна 3,195%, следовательно, модель имеет хороший уровень точности. Среднее квадратическое отклонение S
Коэффициент и индекс корреляции r/p: Коэффициент детерминации R2: Построим график линейной регрессии.
. Найдем параметры нелинейных регрессий Полином 2 степени: Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
Рис. 4 — График остатков В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 6. Так как p>q, остатки признаются случайными. R/S-критерий 0,919emах =1,218emin =-0,9152,322 Расчетное значение RS-критерия не попадает в интервал между критическими границами, следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна. t-критерий Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение. Критерий Дарбина-Уотсона поскольку , то имеют отрицательную автокорреляцию. Оценка точности модели
Средняя относительная ошибка построенной модели равна 3,24%, следовательно, модель имеет хороший уровень точности. Среднее квадратическое отклонение S
Коэффициент и индекс корреляции r/p: Коэффициент детерминации R2: Построим график полинома второй степени.
Гипербола y = a+b/x Критерии пиков Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 1. Так как p R/S-критерий 6,301emах =9,771emin =-8,2962,867 Расчетное значение RS-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. t-критерий
Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение. Критерий Дарбина-Уотсона, поскольку , то имеем положительную автокорреляцию. Оценка точности модели
Средняя относительная ошибка построенной модели равна 24,44%, следовательно, модель имеет плохой уровень точности. Среднее квадратическое отклонение S
Коэффициент и индекс корреляции r/p: Коэффициент детерминации R2: Построим график гиперболы ряд регрессия
Показательная регрессия: Критерии пиков Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 5. Так как p>q, остатки признаются случайными. R/S-критерий 2,343emах =3,282emin =-4,3313,250Расчетное следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. t-критерий
Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение. Критерий Дарбина-Уотсона поскольку , то имеем положительную автокорреляцию. Оценка точности модели
Средняя относительная ошибка построенной модели равна 7,05%, следовательно, модель имеет хороший уровень точности. Среднее квадратическое отклонение S
Коэффициент детерминации R2
Построим график показательного тренда
Степенная регрессия Критерии пиков Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 5. Так как p>q, остатки признаются случайными. R/S-критерий 1,729emах =2,943emin =-2,2012,975 Расчетное значение RS-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. t-критерий
Поскольку < , то по t-критерию ошибки имеют нормальное распределение. Критерий Дарбина-Уотсона поскольку попадает в зоне неопределенности, то нельзя сделать выводов об автокорреляции. Оценка точности модели
Средняя относительная ошибка построенной модели равна 5,52%, следовательно, модель имеет хороший уровень точности. Среднее квадратическое отклонение S
Коэффициент и индекс корреляции r/p: Коэффициент детерминации R2 Построим график степенного тренда
5. Построим адаптивную модель Брауна Модель Брауна строится в несколько этапов. ) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели
Получаем начальные значения параметров модели Брауна a0(0) = a0 = 7; a1(0) = a1 = 4 которые соответствуют моменту времени t = 0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно. 2) Находим прогноз на первый шаг (t = 1): 3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического: 4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания α = 0,4 (β = 1-0,4 = 0,6). Получим:
) По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени: Для t = 2: 6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда. Таблица 7 Расчет по модели Брауна при α = 0,4 β = 0,6 ta0a11117,04,011,00,00,021611,04,015,01,00,131815,64,620,3-2,30,142218,83,222,00,00,052822,03,225,22,80,163027,05,032,0-2,00,173630,73,734,41,60,083835,44,740,2-2,20,194338,83,342,10,90,0Сумма0,5 ) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:
Оценка адекватность модели Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю. Вычислим среднее
Так как , то модель содержит постоянной систематической ошибки и не адекватна по критерию нулевого среднего. Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек.
Рис. 5 — График остатков В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p = 6 критическое число поворотных точек для a = 0,05 и n = 9 определяется по формуле
Так как p>q, остатки признаются случайными. Таблица 7 Расчетная таблица Y(t)11111,00,00,021615,01,00,01,01,01,031820,3-2,31,0-3,310,85,242222,00,0-2,32,35,20,052825,22,80,02,88,08,063032,0-2,02,8-4,822,93,973634,41,6-2,03,512,52,583840,2-2,21,6-3,713,94,794342,10,9-2,23,09,30,8Сумма242242,1-0,1-1,00,983,525,9
Расчетное поскольку , то не принимается нулевая гипотеза о равенстве нулю серийных корреляций и делается вывод о присутствии в остатках отрицательной автокорреляции. Оценка адекватности построенной модели по соответствию нормальному закону распределения осуществляется по RS-критерию:
emах = 2,8, emin = -2,3. Тогда Расчетное следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. 5. Лучшей по всем параметрам является линейная регрессияВ течение первой недели (k = 1, t = 10) спрос будет равен(10) = = 46,72. В течение второй недели (k = 2, t = 11) спрос будет равен(11) = = 50,69.
Учебная работа. Временные ряды