Менеджмент

Учебная работа. Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Содержание

Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Задача 1

задача 2

Список литературы

Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Для эффективной оценки по методу наименьших квадратов необходимо, чтобы случайный член удовлетворял четырем условиям.

первое условие Гаусса-Маркова. Математическое ожидание случайного члена равно нулю

Можно предположить, что условие выполняется автоматически за счет наличия свободного члена a, учитывающего влияние факторов, не включенных в модель.

второе условие Гаусса-Маркова. Теоретическая дисперсия случайного члена постоянна

Так как , то

т. е. второе условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

Если условие не выполняется, то оценка неэффективна и можно получить лучшую оценку с помощью модифицированного метода наименьших квадратов.

Третье условие Гаусса-Маркова. Отдельные значения случайного члена некоррелированы между собой

Так как , то

т. е. третье условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

четвертое условие Гаусса-Маркова. Случайный член распределен независимо от объясняющих переменных

Так как , то

То есть четвертое условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

Так как

то коэффициент b будет несмещенной оценкой β, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова.

Доказательство:

Если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , тогда .

рассмотрим оценку a

Так как , то

Так как, согласно первому условию Гаусса-Маркова, , то

тогда, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , поэтому

т. е. a — несмещенная оценка α при выполнении первого и четвертого условий Гаусса-Маркова.

Таким образом, при выполнении условий Гаусса-Маркова коэффициенты регрессии, определенные по методу наименьших квадратов, являются несмещенными оценками истинных значений. Для оценки эффективности коэффициентов регрессии необходимо определить их дисперсии. Теоретические дисперсии рассчитываются по формулам

Заметим, что, во-первых, теоретические значения дисперсий коэффициентов регрессии пропорциональны дисперсии случайного члена, т. е. чем больше случайность, тем хуже оценки. Во-вторых, чем больше число наблюдений, тем меньше дисперсия, и тем лучше оценки. В-третьих, чем больше дисперсия x, тем меньше дисперсия коэффициентов регрессии, т. к. в этом случае на y в меньшей степени влияют вариации ε.

однако, на практике значения дисперсии случайного члена неизвестно, поэтому оно оценивается с помощью выборочной дисперсии остатка регрессии . При этом имеет отрицательное смещение

следовательно оценка

является несмещенной оценкой дисперсии случайного члена .

поэтому для оценки теоретических дисперсий коэффициентов регрессии применяются их стандартные ошибки, определяемые по формулам

теорема Гаусса-Маркова. Если выполнены условия Гаусса-Маркова, то оценки по методу наименьших квадратов являются наилучшими линейными несмещенными оценками коэффициентов регрессии.

задача 1

Тема: Корелляционно-регрессионный анализ в эконометрическом моделировании

Оценка параметров уравнения парной регрессии и качества эконометрической модели.

Задание предусматривает выполнение следующих пунктов содержания: определение формы связи, оценка параметров уравнений для различной формы связи, тесноты связи, качества уравнений по средней ошибке аппроксимации, статистической надежности уравнения с помощью F-критерия Фишера, выбор уравнения наиболее адекватно отражающего существующую связь, прогнозирование.

Для построения экономической модели используются данные 2006г.

Условие. Построить уравнение регрессии вида .

Таблица 1

Среднедушевые доходы на душу населения, тыс. руб. (х)Оборот розничной торговли на душу населения, тыс. руб. (у)1 Республика Башкортостан10758,92.Республика Марий Эл5928,63.Республика Мордовия5826,44. Республика Татарстан11256,95. Удмуртская Республика7532,36.Чувашская республика6528,87. Кировская область6930,68. Нижегородская область9652,39. Оренбургская область7432,610.Пензенская область6833,911. Пермский край1326512.Самарская область13882,613.Саратовскаяобласть7438,414.Ульяновская область7440,6Решение

Линеаризация модели

И получаем линейную модель

Таблица 2

Расчет параметров уравнения регрессии

у20,0093558,90,550470,0000959,180,08239,590,470,0169528,60,484750,0002922,1741,32219,6722,480,0172426,40,455170,0003020,7531,92289,7321,400,0089356,90,508040,0000861,2118,54181,677,570,0133332,30,430670,0001839,7755,79123,6923,120,0153828,80,443080,0002429,790,97213,793,420,0144930,60,443480,0002134,1312,44164,3911,530,0104252,30,544790,0001153,962,7778,833,180,0135132,60,440540,0001838,8939,60117,1019,300,0147133,90,498530,0002233,090,6690,662,390,00758650,492420,0000667,797,78465,634,290,0072582,60,598550,0000569,39174,431534,9615,990,0135138,40,518920,0001838,890,2425,211,280,0135140,60,548650,0001838,892,927,964,210,17616607,96,958050,00236607,9389,453752,88140,63

Рисунок 1. Эмпирические данные и уравнение регрессии

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении среднедушевого дохода на душу населения, оборот розничной торговли на душу населения увеличивается нелинейно. Значение оборота розничной торговли на душу населения будет стремится к 22,57 тыс. руб. при росте среднедушевых доходов населения.

Коэффициент детерминации

Индекс корреляции

критерий Фишера

Средняя ошибка аппроксимации

Прогнозное значения)p = 85,786 * 110% = 94,36 тыс. руб.

крит (n-m-1;α/2) = (12;0,025) = 2,179

тыс. руб.(94,36) = -4866,585/94,36 + 104,657 = 53,083 тыс. руб.

,083 ± 12,681 тыс. руб.

(40,4;65,76)

Прогнозное значения)

Хр = 85, 786 * 110% = 94,36 тыс.руб.

tкрит (n-m-1; a/2) = 12;0,025)=2,179

(94,36) = -4866,585/94,36 + 104,657 = 53,083 тыс.руб.

,083 ± 12, 681 тыс.руб.

С вероятностью 95% можно утверждать, что значения оборота розничной торговли на душу населения выйдет за границы от 40,4 тыс.ру. до 65,74 тыс. руб.

Доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака:

,083 — 2,179*12,681 ˂y(x* )˂ 53,083 + 2,179*12,681

,4˂ y(x* )˂65,8

Гиперболическое уравнение регрессииимеет вид, детерминации равен 0,8962, следовательно, вариации оборота розничной торговли на душу населения на 89,62% объясняется среднедушевыми доходами. Индекс корреляции больше 0,9, связь между показателями очень сильная прямая, расчетное однако ошибка аппроксимации больше 7%, качество модели не очень высокое.

Задача 2

Тема: Временные ряды в эконометрических исследованиях. Моделирование тенденции временного ряда

Таблица 3

Временной ряд

Номер неделиКурс доллара, руб.1731,08391831,37771931,34062031,30252132,04872232,32462331,6792432,90972532,85172633,3212732,6222832,32362932,85563032,88113132,8913232,92263332,9564

Решение

Построим временной ряд.

рисунок 2. Временной ряд (курс доллара)

Рассчитываем коэффициент автокорреляции 1 и 2 порядков.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Получаем следующую таблицу:

наименьший квадрат моделирование регрессионный

Таблица 4

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

tytyt — 1yt 2yt — 12yt*yt — 1231,377731,0839984,56966,21975,34331,340631,3777982,23984,56983,40431,302531,3406979,85982,23981,04532,048731,30251027,12979,851003,20632,324632,04871044,881027,121035,96731,67932,32461003,561044,881024,01832,909731,6791083,051003,561042,55932,851732,90971079,231083,051081,141033,32132,85171110,291079,231094,651132,62233,3211064,191110,291087,001232,323632,6221044,821064,191054,461332,855632,32361079,491044,821062,011432,881132,85561081,171079,491080,331532,89132,88111081,821081,171081,491632,922632,8911083,901081,821082,861732,956432,92261086,121083,901085,01Сумма518,6078516,735316816,2816696,3616754,45Среднее32,413032,29601051,01731043,52261047,1530

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Коэффициент автокорреляции рассчитывается по этой же формуле, только вместо х берутся значения исходного временного ряда, вместо у — значения временного ряда, сдвинутые на величину лага (в данном случае на 1 период)

Таблица 5

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

tytyt — 2yt 2yt — 22yt*yt — 2331,340631,0839982,23966,21974,19431,302531,3777979,85984,56982,20532,048731,34061027,12982,231004,43632,324631,30251044,88979,851011,84731,67932,04871003,561027,121015,27832,909732,32461083,051044,881063,79932,851731,6791079,231003,561040,711033,32132,90971110,291083,051096,581132,62232,85171064,191079,231071,691232,323633,3211044,821110,291077,051332,855632,6221079,491064,191071,821432,881132,32361081,171044,821062,841532,89132,85561081,821079,491080,651632,922632,88111083,901081,171082,531732,956432,8911086,121081,821083,97Сумма487,2301483,8115831,7215612,4615719,56Среднее32,482032,25421055,44771040,83091047,9706

Коэффициент автокорреляции первого порядка выше, в ряду существует тенденция.

Таблица 6

Расчет сезонной компоненты в аддитивной модели ряда

tytСкользящая средняяЦентрированная скользящая средняяОценкасезонной компоненты131,0839231,377731,2762331,340631,517431,3968-0,0562431,302531,754131,6357-0,3332532,048731,838731,79640,2523632,324632,240532,03960,2850731,67932,441332,3409-0,6619832,909732,690432,56580,3439932,851732,926132,80820,04351033,32132,779632,85280,46821132,62232,780632,7801-0,15811232,323632,670632,7256-0,40201332,855632,737832,70420,15141432,881132,887632,81270,06841532,89132,912832,9002-0,00921632,92261732,9564

Таблица 7

Расчет циклической компоненты в аддитивной модели ряда

показатели12341-0,0562-0,333220,25230,2850-0,66190,343930,04350,4682-0,1581-0,402040,15140,0684-0,0092Всего за период0,44720,8216-0,8853-0,3913Средняя оценка сезонной компоненты0,14910,2739-0,2213-0,1304Скорректированная сезонная компонента, Si0,13130,2561-0,2391-0,1482

Для данной модели имеем:

,1491+2739-0,2213-0,1304 = 0,0712

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда и находим уравнение тренда

Таблица 8

Расчет уравнения тренда

tytt2tyt130,9526130,9526231,1216462,2433331,5797994,7391431,450716125,8029531,917425159,5872632,068536192,4112731,918149223,4268833,057964264,4634932,720481294,48391033,0649100330,64941132,8611121361,47221232,4718144389,66191332,7243169425,41631432,6250196456,75051533,1301225496,95171633,0708256529,13321732,8251289558,0272Сумма549,560417854996,1726Среднее32,3271

Экономический смысл уравнения тренда. полученное уравнение тренда показывает, что без учета сезонных колебаний курс доллара в среднем увеличивается на 0,1229 руб. в неделю.

Таблица 9

Расчет выровненных значений и ошибок аддитивной модели

tytSiyt — SiTT + SiE = yt — (T + Si)E2131,08390,131330,952631,344231,4754-0,39150,1533231,37770,256131,121631,467031,7231-0,34540,1193331,3406-0,239131,579731,589931,3508-0,01020,0001431,3025-0,148231,450731,712831,5645-0,26200,0687532,04870,131331,917431,835631,96690,08180,0067632,32460,256132,068531,958532,21460,11000,0121731,6790-0,239131,918132,081431,8422-0,16320,0266832,9097-0,148233,057932,204232,05600,85370,7288932,85170,131332,720432,327132,45840,39330,15471033,32100,256133,064932,449932,70600,61500,37821132,6220-0,239132,861132,572832,33370,28830,08311232,3236-0,148232,471832,695732,5475-0,22390,05011332,85560,131332,724332,818532,9498-0,09420,00891432,88110,256132,625032,941433,1975-0,31640,10011532,8910-0,239133,130133,064332,82520,06580,00431632,9226-0,148233,070833,187133,0389-0,11630,01351732,95640,131332,825133,310033,4413-0,48490,2351Сумма2,1437

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда: T = 31.221 + 0.123t

Получим18 = 31,221 + 0,123*18 = 33,433

таким образом,

18 = T18 + S2 = 33,433 + 0,256 = 33,689

19 = 31,221 + 0,123*19 = 33,556

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = -0,239

Таким образом,

19 = T19 + S3 = 33,556 -0,239 = 33,317

20 = 31,221 + 0,123*20 = 33,679

таким образом,

20 = T20 + S4 = 33,679 -0,148 = 33,53

21 = 31,221 + 0,123*21 = 33,801

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S1 = 0,131

Таким образом,

21 = T21 + S1 = 33,801 + 0,131 = 33,933

21 = 31,221 + 0,123*21 = 33,801

Произведем оценку качества модели. Общая оценка качества модели производится по доле объясненной дисперсии уровня ряда

R2 = 1-= 0,742

следовательно аддитивная модель объясняет 74,2% от общей вариации уровней исходного ряда. То есть аддитивная модель корректно отражает данную тенденцию.

Прогнозное

Т=0,0593t+42,9476

Получим трендовые компоненты:

Т18 =31,221 + 0,123*18= 33,433

Т19 =31,221 + 0,123*19= 33,556

Т20 =31,221 + 0,123*20= 33,679

Т21 =31,221 + 0,123*21= 33,801

Прибавляем к ним сезонные компоненты S1=0,1313 S2=0,2561 S3=0,2391 S4=0,1482, получим прогнозные значения по неделям следующего месяца:

у18=33,689 — курс доллара на 18 неделю;

у19=33,317 — курс доллара на 19 неделю;

у20=33,530 — курс доллара на 20 неделю;

у21=33,801 — курс доллара на 21 неделю;

Таблица 10

Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели ряда

tytСкользящая средняяЦентрированная скользящая средняяОценка сезонной компоненты131,0839231,377731,2762331,340631,517431,39680,9982431,302531,754131,63570,9895532,048731,838731,79641,0079632,324632,240532,03961,0089731,67932,441332,34090,9795832,909732,690432,56581,0106932,851732,926132,80821,00131033,32132,779632,85281,01431132,62232,780632,78010,99521232,323632,670632,72560,98771332,855632,737832,70421,00461432,881132,887632,81271,00211532,89132,912832,90020,99971632,92261732,9564

Таблица 11

Расчет циклической компоненты в мультипликативной модели ряда

показатели123410,99820,989521,00791,00890,97951,010631,00131,01430,99520,987741,00461,00210,9997Всего за период3,01393,02523,97262,9877Средняя оценка сезонной компоненты1,00461,00840,99320,9959Скорректированная сезонная компонента, Si1,00411,00790,99260,9954

Для данной модели имеем:

,0046+1,0084+0,9932+0,9959 = 4,0022

Корректирующий коэффициент: k=4,0022/4 = 1,0005

Исключим влияние сезонной компоненты, разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты и находим уравнение тренда

Таблица 12

Расчет уравнения тренда

tytt2tyt130,9570130,9570231,1325462,2649331,5731994,7193431,447516125,7901531,917925159,5894632,072036192,4318731,914049223,3981833,062264264,4974932,717681294,45841033,0606100330,60581132,8640121361,50411232,4734144389,68031332,7215169425,37931432,6241196456,73771533,1350225497,02501633,0751256529,20221732,8219289557,9718Сумма549,569317854996,2127Среднее32,3276

Таблица 13

Расчет выровненных значений и ошибок аддитивной модели

tytSiyt/SiTTxSiE = yt / (T x Si)(yt — T*S)2131,08391,004130,957031,345531,47390,98760,1521231,37771,007931,132531,468231,71610,98930,1145331,34060,992631,573131,591031,35840,99940,0003431,30250,995431,447531,713831,56750,99160,0702532,04871,004131,917931,836531,96701,00260,0067632,32461,007932,072031,959332,21101,00350,0129731,67900,992631,914032,082131,84580,99480,0278832,90970,995433,062232,204832,05631,02660,7283932,85171,004132,717632,327632,46011,01210,15331033,32101,007933,060632,450432,70601,01880,37821132,62200,992632,864032,573132,33331,00890,08341232,32360,995432,473432,695932,54510,99320,04911332,85561,004132,721532,818732,95320,99700,00951432,88111,007932,624132,941433,20090,99040,10231532,89100,992633,135033,064232,82071,00210,00491632,92260,995433,075133,187033,03390,99660,01241732,95641,004132,821933,309733,44630,98540,2400Сумма2,1460

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

= 31,223 + 0,123t

Получим18 = 31,223 + 0,123*18 = 33,433

таким образом,

18 = T18 * S2 = 33,433 * 1,004 = 33,5667

19 = 31,223 + 0,123*19 = 33,555

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S3 = 0,9926

Таким образом,

19 = T19 * S3 = 33,555 * 0,9926 = 33,306720 = 31,223 + 0,123*20 = 33,678

20 = T20 * S4 = 33,678 * 0,9954 = 33,5231

21 = 31,223 + 0,123*21 = 33,801

таким образом,

21 = T21 + S1 = 33,801 * 1,0041 = 33,9396

Список литературы

1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003

.Степанов В.Г. Эконометрика. Учебный курс. московский институт экономики, менеджмента и права. Центр дистанционных образовательных технологий МИЭМП, 2010.

.Эконометрика./Под ред. И.И Елисеевой. — М.: финансы и статистика, 2003

.Эконометрика/сост. Касьянов В.А. — Екатеринбург: УПИ, 2007.