Менеджмент

Учебная работа. Построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование

Построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование

Содержание

Введение

1. исследование систем управления

1.1 Вычисление и построение в Matlab временных характеристик систем

1.2 Построение асимптотических логарифмических частотных характеристик

1.3 Составление уравнений состояний в нормальной и канонической формах

1.4 Решение уравнений состояния в канонической форме

2. Линейное программирование

2.1 Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели

2.2 исследование двойственной задачи линейного программирования

2.3 Нахождение целочисленного решения задачи

3. Нелинейное программирование

3.1 Нахождение безусловного экстремума функции F(x)

3.2 Нахождение экстремума функции F(x) с учетом системы ограничений

Заключение

Список использованных источников

Ведомость документов

Введение

Методы оптимизации находят широкое применение в различных областях науки и техники. Эти методы успешно применяются в решении задач технического проектирования устройств и систем, организационно-экономических и других задач.

В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, которые позволяют найти наилучший вариант из множества альтернатив и избежать при этом полного перебора и оценивания возможных решений. Знание методов оптимизации является необходимым для инженерной деятельности при создании новых, более эффективных и менее дорогостоящих систем, а также при разработке методов повышения качества функционирования существующих систем [2].

При постановке задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого будет выполняться оценке наилучшего варианта или условия. Такие критерии могут быть из разных областей науки, однако с математической точки зрения такие задачи сводятся к нахождению максимума (минимума) некоторой функции, соответствующего указанным требованиям.

Целью курсового проекта является построение математических моделей линейных систем управления и их моделирование, а также изучение методов оптимизации задач линейного и нелинейного программирования.

первый раздел посвящен анализу заданной с помощью передаточной функции системы. В этом разделе для этой функции построены переходные и логарифмические амплитудно- и фазочастотная характеристики, а также построены схемы модели в пространстве состояний в нормальной и канонической формах и решено уравнение состояния в канонической форме.

второй раздел посвящен решению задач линейного программирования. В этом разделе приведено решение прямой задачи линейного программирования и соответствующей ей двойственной задачи, а также целочисленной задачи с помощью симплекс-таблиц.

третий раздел посвящен решению задач нелинейного программирования. В этом разделе приведено решение такой задачи без ограничений методами Ньютона-Рафсона и наискорейшего спуска, а также с ограничениями методами допустимых направлений Зойтендейка, Куна-Таккера и линейных комбинаций. Результаты решения различными методами сравнены между собой.

1. Исследование систем управления

.1 Вычисление и построение в Matlab временных характеристик систем

Передаточная функция системы — отношение изображения выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция имеет вид:

(1.1)

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем передаточной функции и имеет вид:

.(1.2)

Найдем корни характеристического уравнения:

.(1.3)

Передаточная функция в форме нулей и полюсов имеет вид:

(1.4)

Импульсная переходная характеристика — процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход -функции.

Определим как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.(1.5)

Разложим передаточную функцию (1.4) на сумму простых слагаемых:

(1.6)

Найдем коэффициенты по методу неопределенных коэффициентов:

Передаточная функция примет вид:

(1.7)

В соответствии с формулой (1.5), таблицами преобразования Лапласа, найдем импульсную переходную характеристику:

.(1.8)

Вид импульсной переходной характеристики, построенный в пакете Matlab, представлен на рисунке 1.1.

Переходная характеристика — процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.

Рисунок 1.1 — График импульсной переходной характеристики

Для получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему интегратором:

(1.9)

С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем коэффициенты :

Тогда выражение примет вид:

(1.10)

Определим как обратное преобразование Лапласа от :

. (1.11)

(1.12)

Вид переходной характеристики построенный в пакете Matlab представлен на рисунке 1.2.

рисунок 1.2 — График переходной характеристики

Система при воздействии на нее импульсного сигнала со временем возвращается в исходное состояние. При воздействии ступенчатого сигнала со временем система приходит в однозначное состояние. Следовательно, заданная по условию система является устойчивой [1].

1.2Построение асимптотических логарифмических частотных характеристик

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты [1].

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

(1.13)

Передаточная функция представляет собой произведение трех апериодических звеньев и одного форсирующего звена.

(1.14)

Найдем сопрягающие частоты звеньев и коэффициент усиления:

(1.15)

.(1.16)

Фазочастотная характеристика примет вид:

(1.17)

Используя найденные значения коэффициента усиления и сопрягающих частот, построим графики ЛАЧХ и ФЧХ. Графики ЛАЧХ и ФЧХ представлен на рисунке 1.3 и рисунки 1.4. Графики ЛАЧХ и ФЧХ, построенные в пакете Matlab представлены на рисунке 1.5.

Построенные вручную характеристики подобны построенным в пакете Matlab.

Рисунок 1.3 — Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 1.4 — Фазочастотная характеристика

Рисунок 1.5 — Графики частотных характеристик в Matlab

2. Линейное программирование

.1 Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели

К задачам линейного программирования относятся задачи нахождения условного экстремума функции нескольких переменных, при условии, что функция и ограничения линейны [2].

Общий вид задачи линейного программирования на поиск максимума:

где — матрица из коэффициентов при переменных ограничений;

— вектор-столбец свободных членов в ограничениях;

— вектор-строка коэффициентов при переменных функции цели.

Условие задачи:

(2.1)

Решим задачу (2.1) с помощью симплекс-метода.

Поскольку предстоит решить задачу на нахождение максимума функции цели, то все исходные ограничения должны иметь знак меньше или равно. Для этого все ограничения системы (2.1) со знаком «» умножим на :

(2.2)

Введем в систему (2.2) дополнительные переменные для ограничений вида неравенств, чтобы преобразовать их в равенства. Для ограничения вида равенства воспользуемся методом искусственного базиса и введем искусственную переменную :

(2.3)

В связи с вводом искусственных переменных функция цели примет вид:

, (2.4)

где M — коэффициент штрафа за введение искусственных переменных.

Выразим R из ограничения системы:

и подставим в выражение

(2.5)

При составлении первой симплекс-таблицы будем полагать, что исходные переменные являются небазисными, а введенные переменные — базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в — и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в обычном симплекс-методе [2].

Шаг 1. Составим начальную симплекс таблицу:

Таблица 2.1 — Первая итерация

БПСвоб. членыНПx1x2x3R-33-4-5-2×4-15-1-40×5214-36×6151-15F04-21M33452

Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены, которые меньше нуля.

Шаг 2. Выберем строку , в которой свободный член меньше нуля, и выберем в ней максимальный по абсолютному значению отрицательный элемент, который станет ведущим. строка будет исключена из базиса, а столбец будет включен в базис.

максимальный по абсолютному значению элемент строки соответствует столбцу . Столбец будет исключен из базиса. Ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.1.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются.

Таблица 2.2 — Вторая итерация

БПСвоб. членыНПx1x3M000

Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов. Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в -строке.

Из симплекс таблицы 2.2 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

(2.6)

Экстремальное

2.2Исследование двойственной задачи линейного программирования

Предположим, что у нас есть прямая задача вида:

Тогда двойственной задачей к этой прямой задаче будет задача вида:

(2.7)

Составим двойственную задачу для задачи (2.1):

(2.8)

Преобразуем ограничения неравенств в равенства:

(2.9)

поскольку введенные в систему дополнительные переменные записаны со знаком минус, то в симплекс-таблицу коэффициенты ограничений войдут с противоположными знаками [2].

Составим симплекс таблицу, используя выражения (2.8) и (2.9):

Таблица 2.3 — первая итерация

БПСвоб. членыНПy1y2y3y4y5441-4-1y6-25431y7120-6-50-33-152115

Решение не является допустимым, так как существуют свободные члены меньше нуля.

Поскольку в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то нельзя выбрать ведущий элемент в этой строке. поскольку на переменную не наложено ограничение на знак, то выведем из базиса , а в базис введем [3]. выбранный ведущий элемент выделен полужирным шрифтом в таблице 2.3.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Таблица 2.4 — Вторая итерация

БПСвоб. членыНП

Решение является допустимым (допуская ), и является оптимальным.

Из симплекс таблицы 2.4 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

Экстремальное

Переменным прямой задачи поставим в соответствие переменные двойственной задачи:

В-строке симплекс таблицы 2.4 двойственной задачи расположены коэффициенты при небазисных переменных . Используя соответствие, найдем оптимальное решение прямой задачи:

Тогда оптимальный план прямой задачи:

Оптимальный план прямой задачи, найденный путем решения двойственной задачи, совпадает с оптимальным планом в выражении (2.6), полученным при решении прямой задачи. Экстремальные значения функции цели прямой и двойственной задачи совпадают.

таким образом, переход к двойственной задаче в некоторых случаях может упростить решение за счет уменьшения количества ограничений, а также возможно уменьшение числа шагов при решении двойственной задачи симплекс-методом.

2.3Нахождение целочисленного решения задачи

Задача, в которой некоторые переменные могут принимать только целые значения, называется частично-целочисленной.

Для задачи (2.1) найдем частично-целочисленное решение, считая, что переменная должна быть целой.

Дополнительное ограничение должно быть составлено по строке симплекс-таблицы с переменной, дополнительное ограничение имеет вид:

(2.10)

где — коэффициенты при небазисных переменных в данной строке;

— дробная часть свободного члена.

С учетом выражения (2.10) для переменной получим:

(2.11)

Добавим условие (2.11) в симплекс-таблицу:

(2.12)

Учтем (2.12) путем добавления дополнительной строки в симплекс-таблицу (таблицу 2.2). Тогда симплекс-таблица примет вид:

Таблица 2.5 — Первая итерация

БПСвоб. членыНПx1x3

Решение не является допустимым, так как существует свободный член меньше нуля.

В строке с отрицательным свободным членом найдем максимальный отрицательный по абсолютному значению элемент. Этот элемент станет ведущим. Ведущий элемент выделен полужирный шрифтом в таблице 2.5.

Симплекс таблица после пересчета имеет вид, представленный в таблице (2.6).

Таблица 2.6 — вторая итерация

БПСвоб. членыНПx7x3x2610F97-1

Решение является допустимым, но не является оптимальным.

Выберем столбец, в котором функция цели имеет отрицательный коэффициент.

Для выбора строки с базисной переменной, которую необходимо сделать небазисной, найдем симплексные отношения. Ведущий элемент выделен полужирный шрифтом в таблице 2.6.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Таблица 2.7 — Третья итерация

БПСвоб. членыНПx7X1x2610x494-1×53018-8

Решение является оптимальным и допустимым.

Из симплекс-таблицы 2.7 получаем:

(2.13)

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

(2.14)

Экстремальное

Таким образом, найденное оптимальное решение соответствует требованию целочисленного значения переменной .

3. Нелинейное программирование

.1Нахождение безусловного экстремума функции F(x)

исходная задача имеет вид:

(3.1)

Начальная точка имеет координаты:

График функции, построенный в Matlab, представлен на рисунке 3.1.

рисунок 3.1 — График функции в Matlab

Решим задачу различными методами и сравним полученные результаты.

метод Ньютона-Рафсона.

В данном методе решение заданной нелинейной задачи, как правило, происходит за один шаг, т.е. будет решением данной задачи.

здесь — матрица Гессе (матрица, составленная из вторых частных производных), — значение градиента функции в начальной точке.

Найдем вид вектора градиента:

(3.2)

В точке вектор градиента примет значение:

Составим матрицу Гессе:

Найдем обратную матрицу для матрицы Гессе.

Координаты следующей точки будут определятся по выражению:

Найдем

следовательно в точке функция достигает своего максимального значения:

Метод наискорейшего спуска

В данном методе на каждой итерации в текущей точке определяется направление движения (вектором градиента для задачи на максимум) и величина шага в данном направлении [2].

Шаг 1.

Координаты точки будут определяться выражением:

где — — величина шага в данном направлении.

Найдем Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага . Для этого подставим в функцию (3.1) найденные выражения для , т.е. получим функцию зависящую от величины шага. затем исследуем полученную функцию на экстремум, для чего возьмем производную от полученной функции и приравняем к нулю:

Тогда координаты точки будут равны:

Найдем Шаг 2.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Тогда координаты точки будут равны:

Найдем

Шаг 3.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага :

Тогда координаты точки будут равны:

Найдем

Шаг 4.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага :

Тогда координаты точки будут равны:

Найдем

Графическая интерпретация метода найскорейшего спуска представлена на рисунке 3.2.

рисунок 3.2 — Графическая интерпретация метода наискорейшего спуска

метод наискорейшего спуска для данной функции медленно сходится к точному решению, что видно из расчетов и рисунка.

3.2Нахождение экстремума функции F(x) с учетом системы ограничений

На задачу (3.1) наложим ограничения на значения переменных в соответствии с условием. Полученная задача примет вид:

(3.3)

Для графического построения области определения преобразуем неравенства:

Область определения построена на рисунке 3.3.

метод допустимых направлений Зойтендейка.

Метод Зойтендейка является расширением метода наискорейшего спуска, позволяющий учитывать ограничения. На каждом шаге строится возможное допустимое направление шага, и выбирается величина шага в соответствии с ограничениями [1].

Рисунок 3.3 — Область допустимых значений переменных

Шаг 1.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем интервал допустимых значений , который обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:

Найденное входит в найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определяться по выражению:

Шаг 2.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага так же, как и на предыдущих шагах:

Найдем интервал допустимых значений , который обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:

Найденное не входит в найденный выше интервал. В качестве величины шага возьмем правую границу интервала .

Найдем координаты следующей точки:

Шаг 3.

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Вектор градиента направлен в сторону ОДЗП. Следовательно, координаты следующей точки будут определяться по выражению:

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем интервал допустимых значений , который обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:

Найденное входит в найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

Шаг 4.

Координаты точки будут определяться выражением:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага так же, как и на предыдущих шагах:

Найдем интервал допустимых значений , который обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП:

Найденное не входит в найденный выше интервал. В качестве величины шага возьмем правую границу интервала .

Найдем координаты следующей точки:

Шаг 5.

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Вектор градиента направлен за ОДЗП. Поэтому необходимо найти направление , в сторону которого нужно двигаться. Найдем это направление из условия , где — вектор, составленный из коэффициентов при переменных ограничения, на котором находится точка. Так как точка принадлежит граничной прямой , то направление очередного шага определяем из условия:

Отсюда следует, что . Тогда из условия нормировки:

При движении вдоль граничной прямой следует двигаться в направлении, которое составляет острый угол с вектором градиента, т.е. скалярное произведение векторов и должно быть больше или равно нуля [2]. Это достигается при выборе:

Координаты точки будут определяться выражением:

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

Найдем величину шага :

Найдем интервал допустимых значений , который обеспечивает нахождение точки внутри ОДЗП. Ограничение, вдоль которого происходит движение, опускается:

Найденное входит в найденный выше интервал. Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

Найденная точка находится в вершине ОДЗП.

Проверим перпендикулярность направления движения s1 и вектора градиента , для этого перемножим эти вектора скалярно:

Скалярное произведение равно нулю, следовательно вектор градиента перпендикулярен направлению движения, значит максимум достигнут.

Найдем значение функции по выражению (3.1) в точке :

Графическая интерпретация задачи представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 — Графическая интерпретация метода Зойтендейка

Метод Куна-Таккера.

Метод предназначен для решения задачи, в которой функция является квадратичной, а все ограничения линейны.

метод основан на использовании теоремы Куна-Таккера.

Функция Лагранжа имеет вид:

(3.3)

где — неопределенные множители Лагранжа;

— левые части ограничений задачи, приведенные к нулевой правой части.

Условия теоремы Куна-Таккера для задачи на поиск максимума:

(3.4)

Преобразуем ограничения задачи к виду с нулевой правой частью. При этом поскольку решается задача на поиск максимума, ограничения приводятся к знаку больше или равно:

Составим функцию Лагранжа для задачи:

(3.5)

Составим систему уравнений в соответствии с выражением (3.4):

(3.6)

Приведем ограничения задачи (3.6) к виду равенств, введя дополнительные переменные :

(3.7)

Для решения задачи линейного программирования (3.7) составим симплекс-таблицу.

Таблица 3.1 — исходная симплекс-таблица

БПСвоб. членыНП9-46-4-206-109-904-900542900

Решения является допустимым, так как все свободные члены положительны.

Из симплекс таблицы 3.1 получим:

Параметрами координаты искомой точки являются только , поэтому оптимальный план решения задачи:

Искомая точка экстремума .

Решение задачи методом Куна-Таккера совпадает с решением методом Зойтендейка.

метод линейных комбинаций.

В данном методе на каждом шаге в предыдущей точке нелинейная функция цели линеаризуется посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности данной точки, пренебрегая всеми степенями старше первой. затем решается задача линейного программирования, её решение будет в некоторой вершине ОДЗП. После этого необходимо найти величину шага в направлении вершины и координаты следующей точки [2].

Линеаризованная функция имеет вид:

здесь является постоянной величиной, поэтому не оказывает влияние на максимизацию. Тогда можно записать:

Решим задачу (3.2) с помощью метода линейных комбинаций.

Шаг 1.

начальная точка: .

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Составим для текущего шага:

Решим задачу линейного программирования:

Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее согласно правилам:

Таблица 3.2 — первая итерация

БПСвоб. чл.НПx1x2x304-9×45429013-4

Решение является допустимым, но не является оптимальным, поскольку в строке функции цели присутствует отрицательный коэффициент.

Выберем столбец, в котором функция цели имеет отрицательный коэффициент.

Для выбора строки с базисной переменной, которую необходимо сделать небазисной, найдем симплексные отношения. Ведущий элемент выделен полужирный шрифтом в таблице 3.2.

Пересчитаем таблицу в соответствии с правилами.

Таблица 3.3 — Вторая итерация

БПСвоб. чл.НПx1x45461624

Решение является допустимым, так как нет отрицательных свободных членов. Решение является оптимальным, так как нет отрицательных элементов в — строке.

Из симплекс-таблицы 3.3 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

Найденное решение .

Тогда координаты точки можно представить в виде:

Подставим известные значения в выражение для определения координаты следующей точки:

найденное входит интервал . Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

Шаг 2.

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Составим для текущего шага:

Решим задачу линейного программирования:

Для получения решения данной задачи составим симплекс-таблицу и решим ее согласно правилам:

Таблица 3.4 — исходная симплекс-таблица

Шаг 1.БПСвоб. чл.НПx1x2x304-9×4542906.466.464

Из симплекс-таблицы 3.4 получим:

В исходную функцию цели и ограничения входят только переменные , поэтому оптимальный план решения задачи:

Найденное решение .

Тогда координаты следующей точки можно представить в виде:

Найдем величину шага так же, как и на предыдущем шаге:

Найденное не входит интервал . поэтому в качестве выберем правую границу интервала . Тогда координаты следующей точки определятся по выражению:

Найдем направление вектора градиента по выражению (3.2) в точке :

Вектор градиента направлен в вершине ОДЗП так, что не позволяет двигаться ни внутрь ОДЗП, ни по ее границам.

Графическая интерпретация решения задачи методом линейных комбинаций представлена на рисунке 3.5.

рисунок 3.5 — Графическая интерпретация метода линейных комбинаций

Решение методом линейных комбинаций совпадает с решением методом Зойтендейка и методом Куна-Таккера.

фазочастотный симплекс экстремум функция

Заключение

В первой части курсового проекта выполнен анализ линейной системы 3-го порядка, заданной в виде передаточной функции. Получены выражения для построения временных характеристик системы. По заданной передаточной функции были построены логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Правильность результатов построения подтверждена моделированием в пакете Matlab/Simulink.

Также на основании заданной передаточной функции были составлены уравнения состояния в нормальной и канонической формах. Получены схемы моделей системы и проведено моделирование в пакете Matlab/Simulink.

Во второй части курсового проекта решена прямая задача линейного программирования с применением симплекс-таблиц, составлена и решена двойственная задача к прямой. Решение прямой задачи и полученное решение при приведении в соответствие переменных двойственной и прямой задачи совпадает. Также решена частично-целочисленная задача.

В третьей части курсового проекта решены задачи нелинейного программирования без ограничений и с ограничениями. В решении задачи без ограничений показано, что методом Ньютона-Рафсона задача решается за один шаг, а метод наискорейшего спуска медленно сходится к решению. В задаче нелинейного программирования с ограничениями показано, что все методы решения задач одинаково сходятся к одному решению, но за разное количество шагов. Приведены графики интерпретации метода наискорейшего спуска, метода допустимых направлений Зойтендейка и метода линейных комбинаций.

Список использованных источников

[1]Павлова А.В. электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математические основы теории систем» для студентов специальности 1-53 01 07 Информационные технологии и управление в технических системах [Электронный ресурс] / А.В. Павлова, М.К. Хаджинов. — Режим доступа: EUMK_MOTS_2013.zip.

[2]Павлова А.В. Математические основы теории систем: конспект лекций для студентов специальности «Информационные технологии и управление в технических системах». В 2 ч. / А.В. Павлова. — Минск: БГУИР, 2010. — Ч. 2. — 144 с.

[3]Певзнер Л.Д. Математические основы теории систем / Л.Д. Певзнер, Е.П. Чураков — М. : Высш. шк., 2009.