Менеджмент

Учебная работа. Матричные паттерны проектирования решений

Матричные паттерны проектирования решений

А.М. Алексеева, Н.А. Клюжев

измерять, что измеримо, делать измеримым то, что, ещё не измеримо. Галилео Галилей

Предложенная в статье авторами методика получения оценок, непосредственно используемых в процедурах проектирования управленческих решений в сферах менеджмента различного уровня, отличается новизной и актуальностью, поскольку не имеет аналогов в литературе и отражает новый подход в прикладном использовании модели многофакторной линейной регрессии.

Управленческие задачи в экономике предполагают проверку гипотез, извлечённых из экономических теорий или воззрений относительно некоторого объекта. С этой целью применяются эконометрические методы, например, одномерного или двумерного статистического анализа, чтобы оценить некоторые существенные параметры объекта, необходимые для его понимания или принятия решений о его управляемом поведении. По этой причине на практике для убедительной проверки некоторой конкурирующей гипотезы опираются на анализ данных, что требует многомерного анализа, сущность которого в одновременном учёте взаимосвязей между более чем двумя переменными.

Важной составляющей многомерного анализа является регрессионный анализ по методу наименьших квадратов. В многофакторной регрессии используются несколько факторов, статистически взаимосвязанных между собой и с результативным признаком (результатом). В нашей работе показано, как, используя экономические данные, представленные в матричной (табличной) форме, можно получить важные количественные оценки для модели гипотетического линейного соотношения между несколькими экономическими показателями (факторами объясняющими переменными, и результатом — объясняемой переменной). Форму нашего подхода отражает понятие «паттерн» (анг. рattern): модель или шаблон; образец или пример; система или структура. Любой паттерн представляет собой формализованное описание часто встречающейся задачи совместно с указанием алгоритма удачного решения данной задачи, а также рекомендации по применению этого решения в различных ситуациях. Сообразное использование паттерна дает его пользователю ряд неоспоримых преимуществ. В науке, в том числе в математике, паттерны выявляются путем исследования.

Основная задача нашей статьи — это продемонстрировать положение, что вся необходимая для регрессионного анализа информация содержится в ковариационной матрице данных и производных от неё матриц-паттернов проектирования решений, и наглядно показать, как формируется матричная линейная модель для решения прямой и обратной задачи многофакторной регрессии. Под прямой задачей понимается оценка приращения результата вследствие заданных приращений факторов с учётом из статистической взаимосвязи, а под обратной задачей — оценка приращений факторов при заданном приращении результата. Отметим, что в методике применяемого сегодня линейного многофакторного регрессионного анализа обратная задача вообще не решается, несмотря на её практическую важность, а в решении прямой задачи не учитывается взаимосвязь факторов. Причина этого в экономической интерпретации коэффициента регрессии как коэффициента пропорциональности между приращением результата и приращением данного фактора при условии, что остальные факторы не варьируются и равны своим средним значениям. Такое моделирование экономических процессов ограничивает практическую значимость модели линейной регрессии в процедурах оценивания и принятия управленческих решений во всех сферах менеджмента.

Изложение методики решения сформулированных выше задач демонстрируется конструктивным примером, что способствует практическому усвоению темы данной работы.

Пример. В табл. 1 представлены центрированные значения индексов цен (%)производителей промышленных товаров по Российской Федерации за 15 лет (1998-2012 гг.). В таблице: промышленные товары (среднее 118,584%); добыча полезных ископаемых (среднее 127,847%); обрабатывающие производства (среднее 117,073%); Производство и распределение электроэнергии, газа и воды (среднее 116,006%).

Таблица 1

Центрированные значения индексов цен

№ nn№ nn1-29,1514,35-13,830,819-26,25-3,73-5,71-8,21297,3550,481,7052,071024,450,87-2,756,49321,257,6925,5713,3411-66,25-15,151,99-25,584-23,85-10,8011,38-10,251221,35-11,192,28-4,735-2,05-3,8810,00-0,9313-10,75-0,17-2,19-1,926-26,05-1,28-1,56-6,0414-1,55-8,75-10,92-6,57736,854,38-3,5610,2515-18,55-13,85-9,04-13,4483,15-8,93-3,42-5,23

Построим первый паттерн с именем — ковариационная матрица задачи (см. табл. 2).

Таблица 2

паттерн Ковариационная матрица задачи

1332,773156416,51747661,76125333556,1230133 =416,5174756245,558228,239997333245,135549361,761253338,2399973390,62538429,87230267556,1230133245,13554929,87230267278,5626107

Ковариационная матрица является симметрической матрицей и соответствует матрице второго дифференциала минимизируемой функции метода наименьших квадратов (МНК).

Диагональные элементы матрицы равны дисперсиям переменных, а вне диагонали стоят значения ковариаций элементов на пересечении й строки и го столбца матрицы.

Построим второй паттерн с именем — Матрица парных коэффициентов регрессии (см. табл. 3). Для этого разделим все элементы первой строки на элемент , второй строки на и так далее до последней строки ковариационной матрицы. В результате получаем матрицу, составленную из коэффициентов регрессии модели парной линейной регрессии переменной с индексом j на переменную с индексом i. например, , что позволяет количественно оценить приращение фактора за счёт приращения фактора . Элементы последнего столбца равны коэффициентам регрессии результата на фактор , т.е. . Элементы последней строки равны коэффициентам регрессии , например, . В общем случае парная регрессия означает, что по значениям переменной с индексом i можно статистически оценить

Таблица 3

10,3125194060,0463404090,417267568B=1,6962066110,033556190,998278740,6815005970,09092372310,3296240121,9964022160,8800016220,1072373011

Покажем основное свойство паттерна B, предположив, что нам известны коэффициенты регрессии трехфакторной линейной регрессии для центрированных переменных: . доказательство:

Для суммы справа выполняется равенство , которое совпадает с м уравнением нормальной системы алгебраических уравнений стандартизованной форме. Тогда получаем, что

Доказанное свойство паттерна B позволяет вычислить вектор .

Для этого выделим в паттерне B подматрицы и составим систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, получаем вектор

таким образом, данные в паттерне B с применением алгоритма решения системы алгебраических уравнений в матричной форме дают построение модели регрессии в форме . Аналогичным образом вычисляются коэффициенты регрессии фактора на предшествующие ему факторов. Например, это требуется для формирования матрицы нагрузок (см. далее).

Докажем, что скалярное произведение вектора с первыми тремя компонентами последней строки матрицы на вектор коэффициентов регрессии классической модели регрессии для принятого в задаче порядка следования факторов равно значению коэффициента детерминации .

Имеем скалярное произведение в виде

последнее равенство есть коэффициент детерминации в стандартизованном масштабе. В нашем примере вычисление скалярного произведения даст

0,9963

С другой стороны , т.е. 99,63 % вариации индекса цен на промышленные товары объясняется вариацией всей совокупности факторов. Квадратный корень из равен множественному коэффициенту корреляции, если модель линейна по параметрам. Стандарт результативного признака: (см. паттерн COV).

паттерн В содержит информацию о коэффициентах детерминации , , которые вычисляются аналогично . Например,

Эти последовательные коэффициенты детерминации несут статистическую информацию о совокупной объяснительной способности влияния вариации первых факторов на й фактор.

Поскольку , то по данным паттерна В вычисляются все парные коэффициенты корреляции. Например,

следующим важным и далеко не очевидным, но крайне важным для практики свойством, является то, что в столбцах паттерна B отражено взаимное изменение приращений факторов при изменении на 1 единицу одного из них. Например, в первой строке приращение на 1 единицу индекса цен на добычу полезных ископаемых статистически должно изменить индексы цен: на 0,312519406 в обрабатывающих производствах, на 0,046340409 при производстве и распределении электроэнергии, газа и воды. При этих изменениях факторов изменение индекса цен на промышленные товары должно статистически получить приращение на 0,417267568, которое равно коэффициенту парной регрессии результата y на фактор парадокс? Нет! регрессия ковариационный матрица паттерн

В нашей работе [1, 2] рассмотрен метод построения системы ортогональных функций, названных спектральными и совпадающими с функциями П.Л. Чебышева для функций нескольких переменных. Из последнего равенства в линейной модели регрессии = Xa = XVc следует, что вектор коэффициентов регрессии классической модели может быть разложен по столбцам матрицы нагрузок V, т.е. a = Vc, с — вектор спектральных коэффициентов регрессии в модели c. Спектральные функции , например, для нашего примера имею вид: , , ортогональны в смысле скалярного произведения . Модель записана для центрированных переменных. Она показывает, что при принятой экономической интерпретации коэффициентов регрессии и приращении фактора и при приращение результата равно . таким образом, принятая на практике интерпретация коэффициентов регрессии не соответствует модели, поскольку игнорируется взаимосвязь факторов. Если положить, что при учесть взаимосвязь факторов условиями и , то , что и наблюдается в последней строке паттерна В, т.к. .

Следовательно, парадокс, выявленный ранее, нашел своё обоснование в рамках работы [1].

Матрица нагрузок для выбранного порядка следования факторов может быть вычислена различными способами [1, 2]. В примере с учётом числа факторов она имеет вид

Значение элемента легко усмотреть в матрице паттерна B, где он равен коэффициенту регрессии . Рассуждая аналогичным образом, получаем значения элементов и как коэффициенты двухфакторной регрессии по алгоритму получения вектора .

Составляем систему из двух равнений

Решая её, находим, что есть элементы последнего столбца матрицы .

С использованием данных паттерна COV и матрицы нагрузок по формуле

вычисляем оценки дисперсий спектральных функций и коэффициенты парной корреляции

, ,

что позволяет представить коэффициент детерминации в виде

Такое объяснение вариации результативного признака [3].

Например, , что позволяет оценить вклад в вариацию результата третьей спектральной функции в 0,5%, второй — 15,8%, а основной вклад вносит первый фактор — 83,3% (при принятой последовательности включения факторов в модель регрессии).

Вычисление статистических характеристик также возможно по данным матрицы паттерна B. Изложение этих алгоритмов составляет самостоятельную задачу.

Из перебора значений коэффициентов в последнем столбце паттерна В следует, что можно выделить фактор, приращение значений которого в наибольшей степени влияет на приращение результативного признака. Так в примере это будет фактор обрабатывающие производства.

Для контроля вычислений найдём спектральные коэффициенты, решая систему

Составим матричный паттерн R — Реверс задачи, который представляет структуру системы уравнений, позволяющих решать две взаимообратные задачи. Первая задача называется прямой: по заданным значениям факторов вычисляется значение результативного признака и соответствующих спектральных функций. Вторая задача называется обратной к прямой задаче, поскольку по приращению результативного признака вычисляются соответствующие приращения факторных признаков.

Обе задачи можно рассматривать как задачи прогнозирования. Решение прямой задачи даёт прогнозное воспользоваться прогнозными значениями факторов, полученными с учётом их статистической взаимосвязи. Паттерн В содержит частный случай решения прямой задачи, когда выбран доминирующий фактор, например, фактор — обрабатывающие производства, имеющий наибольший коэффициент корреляции с результатом. Решение непосредственно считывается как наибольшее случае для решения указанных выше задач необходим паттерн R — Реверс задачи.

В табл. 4 представлен паттерн R для линейной регрессии с тремя факторами.

Таблица 4

паттерн R- Реверс задачи

Ŷ 10*= 1

Паттерн R представляет:

1) прямую задачу ;

2) обратную задачу .

Решение обратной задачи представлено на рис. 1 для частного случая , описанного выше, для всех значений из табл. 1.

Рис. 1. Графики расчетных приращений факторов в функции от

Рис. 1 наглядно демонстрирует согласованную с вариацией результативного признака вариацию факторов, что обусловлено учётом их статистической взаимосвязи и согласуется с представлением об оценке показателей управляемых процессов, синтезируемых на основе управленческих решений.

На практике процессы управления и функционирования систем протекают во времени и с временным сдвигом друг к другу, что демонстрируют графики рис. 2.

Рис. 2. Графики приращений по фактическим значениям факторов (табл. 1)

Выводы.

1.Основная новизна методики состоит в постановке и методе решения прямой и обратной задач линейной регрессии, имеющих экспрессный характер анализа экономических данных и синтеза основных оценок прогнозных решений.

2.При необходимости статистической оценки параметров модели методика может быть дополнена соответствующими процедурами, использующими информацию, представленную ковариационной матрицей данных.

.Опыт применения в учебном процессе в высшей школе разработанной авторами методики показал, что наглядность и структурированность процесса проектирования решений на основе количественных моделей повышает их понимание и обоснованность для применения их в сфере менеджмента.

Литература:

1. Клюжев Н.А. Спектральный анализ регрессионных эконометрических моделей.// ВЕСТНИК ИНЖЭКОНА. 2007. Вып.4(17). Серия «Экономика» — с. 219-226

. Клюжев Н.А. Спектральное оценивание в прикладном регрессионном анализе (часть I) // Сборник научных трудов «Современные тенденции в науке, экономике и управлении» — Псков: Издательство «ЛОГОС Плюс», 2013.-стр.241-287.

. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл. корр. ран И.И. Елисеевой.- 4-е изд., перераб. и доп. — М.: финансы и статистика, 2002.- 480 с.: ил.

. Модели и методы социально-экономического прогнозирования / Учебн. пособие: составители д.э.н., проф. Давнис В.В. и др.Экономич. фак-т Воронежского ун-т: Воронеж, 2004 г.-114 с.