Учебная работа. Математические методы обработки результатов экспериментов
Математические методы обработки результатов экспериментов
Министерство образования и науки РФ
филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования
Уфимского государственного нефтяного
технического университета в г. Октябрьском
Кафедра ИТМЕН
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине Математические методы обработки результатов экспериментов
Выполнил: студент группы БГРз 12-10
Кирюков Е.М.
Проверил: Усман Ф.К.
ОКТЯБРЬСКИЙ 2014
метод наименьших квадратов
Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.
Условие задачи:
Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1955 г. С этой целью по 14-ти странам были получены данные по нескольким факторам, влияющим на продолжительность жизни, (таблица 1).
Таблица 1
Название страныyx1x2Мозамбик4732,6Бурунди492,32,6Чад482,62,5Непал554,32,5Буркина -Фасо492,92,8Мадагаскар522,43,1Бангладеш585,11,6Гаити573,42Мали5022,9Нигерия534,52,9Кения585,12,7Того564,23Индия625,21,8
Решение:
)Изучим влияние фактора х1 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от фактора х1 (т.е. у будет расти с ростом х1). наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
наименьший квадрат эконометрический линейный
Построим таблицу 2 с данными для решения системы уравнений.
Таблица 2
n1234567891011121314∑xi32,32,64,32,92,45,13,424,55,14,25,26,553,5yi4749485549525857505358566250744xi295,296,7618,498,415,7626,0111,56420,2526,0117,6427,0442,25228,47xiyi141112,7124,8236,5142,1124,8295,8193,8100238,5295,8235,2322,43252888,4
Получим и решим систему уравнений:
228,47a + 53.5 b = 2888,4
.5a + 14b=744
,47a + 53.5 b = 2888,4
.287b= 288.828=1,883864062=45,94381
Итак, а=1,883864062 b=45,94381
таким образом y = 1,8838x+45,94381
Следовательно, при увеличении показателя фактора х1 на единицу при прочих равных условиях средняя ожидаемая продолжительность жизни в среднем увеличивается на 1,8838 единиц.
Графически такая зависимость имеет вид:
2)Изучим влияние фактора х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств (т.е. у будет уменьшаться с ростом х2). наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
Построим таблицу с данными для решения системы уравнений.
Таблица 3
n1234567891011121314∑xi2,62,62,52,52,83,11,622,92,92,731,82,935,9yi4749485549525857505358566250744xi26,766,766,256,257,849,612,5648,418,417,2993,248,4194,79xiyi122,2127,4120137,5137,2161,292,8114145153,7156,6168111,61451892,2
Получим и решим систему уравнений:
94,79 a + 35.9b = 1892.2
.9 a + 14 b = 744
,79 a + 35.9b = 1892.2
.79a +35.9 b = 1892.2
,79 a + 35.9b = 1892.2
-1.06545b = -722501
a= — 5.7202
b= 67.811
Итак, а= — 5.7202 b= 67.811
таким образом y= — 5.7202x + 67.811
Следовательно, при увеличении фактора х2 на единицу при прочих равных условиях ожидаемая продолжительность жизни в среднем уменьшается на 5,7202 единиц.
Графически зависимость имеет вид:
)рассмотрим влияние факторов х1 и х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от стоимости фактора х1 и о негативной зависимости продолжительности жизни от фактора х 2(т.е. у будет расти с ростом х1 и у будет убывать с ростом х2 ). Форма функциональной зависимости — линейная.
В целом необходимо определить параметры двухфакторной эконометрической модели- y=ах1+bx2+c ,наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Оценим параметры линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему уравнений:
Собранные данные представлены в таблице 4:
Таблица 4
n1234567891011121314∑xi132,32,64,32,92,45,13,424,55,14,25,26,553,5xi22,62,62,52,52,83,11,622,92,92,731,82,935,9yi4749485549525857505358566250744xi1 xi27,85,986,510,758,127,448,166,85,813,0513,7712,69,3618,85134,98xi1295,296,7618,498,415,7626,0111,56420,2526,0117,6427,0442,25228,47xi226,766,766,256,257,849,612,5648,418,417,2993,248,4194,79yi xi1141112,7124,8236,5142,1124,8295,8193,8100238,5295,8235,2322,43252888,4yi xi2122,2127,4120137,5137,2161,292,8114145153,7156,6168111,61451892,2
Получим систему уравнений:
228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.98a + 94.79b + 35.9c = 1892.2
.5a + 35.9b + 14c = 744
.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.464b -7.2651c = — 314,377700
.33b -6.2865c = -288,827664
.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
.464b -7.2651c = — 314,377700
,46811c = 86,859049
.47a + 134.98b + 53.5*59,16393 = 2888.4
.464b -7.2651*59,16393 = — 314,377700= 59,16393
Итак, а = 1,4668944 b = -4,53409 c= -59,16393
таким образом y= 1,4668944×1 — 4,53409 x2 — 59,16393
Вывод: Данная функциональная зависимость позволяет примерно прогнозировать зависимость средней продолжительности жизни от нескольких факторов (х1 и х2)
Коэффициент a= 1,4668944 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х1 на единицу средняя продолжительность жизни увеличится в среднем на 1,4668944 единиц.
Коэффициент b= -4,53409 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х2 на единицу средняя продолжительность жизни уменьшится в на 4,53409 единиц.
Пример:
МНК может применяться и в повседневной жизни. в медицине он служит показателем зависимости артериального давления человека от окружающих параметров, то есть от тех же самых факторов. В зависимости от температуры, влажности воздуха, атмосферного давления и времени суток состояние человека может изменяться. Все данные заносятся в таблицы, подобные тем, что представлены выше в соответствии с изменяющимися факторами. Проанализировав данные наблюдатель может проследить за тенденцией изменения здоровья и понять, что именно влияет на человека.