Учебная работа. Теория игр в экономике
Теория игр в экономике
Введение
История циклична. История мировой экономики не исключение. Мировая экономика переживает взлеты и падения, которые вытекают в страшные кризисы («Великая депрессия» (1929-1933), «Нефтяной кризис» 1973-75 годов, финансовый кризис 2007-2008 гг. и др.). многие ученые умы пытаются найти причины неминуемых кризисов, падений в экономике. В этой связи встает и вопрос о том, что классическая экономическая теория не отражает действительности. Различий между реальным положением дел и фактическим представлением экономической ситуации в цифрах, на бумагах, на словах создают уязвимость в стабильности экономической ситуации.
Одним из таких различий между реалиями и описывающими их экономическими теориями предстает и формальность разделения экономики на макро- и микроэкономику. Макроэкономика рассматривает агрегированные показатели экономики: ВВП, уровень цен в масштабах страны, рыночную ставку процента, — не учитывая при этом роли влияния отдельных индивидуумов (игроков) рынка, в отличие от микроэкономики, концентрирующей свое внимание на отдельных игроках рынка, их производстве, формировании цены на их товары. Но что, если можно рассматривать всю экономическую модель как макро- и микроэкономическую сразу? Что если учитывать влияние всех игроков рынка на формирование средних цен? Что если процентные ставки и средний уровень цен на самом деле тоже зависят не только от независимых агрегированных показателей, а от действий всех игроков рынка и степени влияния каждого их них на процесс ценообразования?
Одним из подходов к исследованиям экономической модели с целью поиска альтернативного классической экономике объяснения является приложение теории игр в экономике. Стратегические рыночные игры рассматривают рыночную экономику как модель игры. приложение стратегических рыночных игр служит снижению значимости исторически сложившихся границ между макро- и микроэкономикой, путем выведения эндогенного спроса на деньги. Такой подход очень важен для изучения и развития денежно-кредитной политики.
Так, например, в работе Martin Shubik and Charles Wilson, 1977 классическая макроэкономическая проблема хранения фиатных денег конечно время была сведена к стандартной микроэкономической проблеме. Денежно-кредитная политика, вопрос достаточности денег были исследованы через стратегически рыночные игры Shubik, 2004; Goodhart, Sunirand and somoscos, 2006;Tsomoscos, 2006.
Продолжая по сути своей исследования M. Shubik and C. Wilson, «The Optimal Bankruptcy Rule in a Trading Economy Using Fiat Money», 1977 и M.Shubik and D.P.Tsomoscos, «A strategic market game with a mutual bank with fractional reserves and redemption in gold » 1990, M.Shubik, C, Goodhart, D.P.Tsomoscos and N,Romanids, «Macro-modelling, default and money», 2016, в данной работе исследуется одношаговая стратегическая рыночная игра с двумя игроками и внешним банком. В игре будут возникать два рынка потребительских товаров и рынок кредитов. Правилами рынка кредитов определено наказание за дефолт, которое определяет мотивацию для возврата кредита. Взаимодействие рынков и наличие наказания за дефолт определяют общее равновесие в стратегической рыночной игре, основанное на рациональном поведении игроков. Эта макроэкономическая проблема одна из наиболее интересных и слабо исследованных на сегодня, несмотря на наличие множества работ по данной теме. В итоге, было найдено приближение распределения смешанных стратегий для каждого игрока. Такое распределение характеризует распределение индивидуально-рациональных стратегий поведения каждого игрока. точное аналитическое выражение для решения уравнения Фредгольма 1-ого рода не существует, поэтому численное моделирование — это единственные способ получения результата. На основе индивидуально-рациональных стратегий спроса на деньги, полученного как предельное распределение решения, подсчитано вероятностное распределение процентной ставки. анализ этого распределения показывает, что изменения в стратегии игрока при прочих неизменных показателях модели приводит к изменению процентной ставки. Этот эффект показывает непостоянство процентной ставки в ответ на рациональное использование смешанных стратегий каждым игроком. Полученный результат требует дальнейшего изучения и применения для понимания взаимодействия реального и финансового секторов экономики.
Актуальность данной работы обусловлена значимостью исследований в области макро- и микроэкономических теорий, а именно изучение влияния рынков друг на друга и стратегий отдельных игроков рынка на показатели, которые классическая экономическая теория называет макроэкономическими. изучение рационального поведения игроков рынка в условиях торговли с кредитованием и штрафами за дефолт. таким образом, важным аспектом актуальности работы является реалистичность отраженной модели. Исследования стратегических рыночных игр может позволить в будущем концептуально пересмотреть классическую экономику и разработать экономические модели, которые смогут отвечать реальному миру экономики, претерпевшему сильнейшие изменения со времен введения классической экономической теории.
Новизна данной работы заключается в выводе эндогенного спроса на деньги из численно смоделированного совместного распределения смешанных стратегий двух игроков в общем равновесном решении (индивидуально-рациональных стратегий поведения). В результате работы установлена зависимость вероятностного распределение процентной ставки от выбора различных индивидуально-рациональных стратегий каждого игрока. Такие результаты не были получение ни в одной из упомянутых ранее работ [1,2,4] по стратегическим рыночным играм.
Перед непосредственным переходом к рассмотрению самой работы хочется выразить благодарности людям, без которых эта работа не состоялась бы в таком виде, в каком она есть. В первую очередь, моему научному и идейному руководителю, Левандо Дмитрию Владимировичу. Следом за ним помощнику и соавтору в программировании решения задачи на Wolphram Mathematica, Сахарову Максиму Константиновичу. И, наконец, Бурмана Юрия Михайловича, внесшего вклад в решение проблемы с тензорной алгеброй, возникшей в процессе вычислений.
Глава 1. необходимые теоретические сведения из математического и функционального анализа, тензорной алгебры и теории игр
В работе используются определения, методы и факты, которые необходимо знать для четкого понимания всех аспектов работы. Поэтому приведем ниже самые основные и не упомянутые далее по тексту работы определения, методы и факты.
Математический и функциональный анализ
Уравнения Фредгольма первого рода и регуляризация Тихонова
Уравнение Фредгольма первого рода, где ядро и функция заданы, а функцию необходимо найти, относится к классу некорректных задач [3,5]. поэтому его решение требует использование методов регуляризации. Одним из таких методов является метод регуляризации Тихонова. метод регуляризации Тихонова заключается в возмущении исходной матрицы А в матричном уравнении Применение метода к классу некорректных задач, в ом числе задач решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода было взято из [5].
Тензорная алгебра
Пусть у нас есть тензор размерности . Тогда T может быть представлен в виде
,
где являются матрицами , определенными . такая операция над тензором третьего ранга будет называть уплощением. Структура уплощения тензоров третьего ранга может быть различной, например [7]:
,
.
Использование такой операции было необходимо для произведения вычислений численного решения задачи максимизации стратегической рыночной игры.
Определения из теории игр
чистая стратегия — определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия — вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.
Равновесие по Нэшу
Пусть есть множество игроков . Пусть для обоих игроков есть набор стратегий соответственно. Пусть определены функции выигрыша для игроков .
Тогда s называется ситуацией равновесия (Нэша), если выполняется следующее условие:
По сути, это означает, что ситуации равновесия ни одному из игроков в отдельности менять стратегию не выгодно. Или, другими словами, в ситуации равновесия стратегия равновесия каждого игрока является его оптимальным ответом на стратегии других игроков.
Глава 2. Построение модели и индивидуального спроса на деньги в рамках стратегических рыночных игр
2.1 Построение модели и постановка игры
Введение базовых понятий и переменных
Опишем рассматриваемую модель как стратегическую игру. игра одноходовая (хотя легко может быть трансформирована в многоходовую, но анализ результатов будет уже совершенно иной задачей). В игре задается набор игроков , то есть участвуют двое игроков: Игрок 1 и Игрок 2. Также в игре есть участник, которого мы не рассматриваем, как игрока, а рассматриваем как «механизм», работа которого в модели строго задана и роль его важна — это Банк (по сути, Банк — внешний фактор игры). Предметом торговли в экономике будет множество потребительских товаров , то есть будет два различных типа потребительских товаров: товар А и товар В. Плюс в экономике присутствует третий товар — деньги. У каждого игрока есть количество запасов товара А и товара В. Количество запасов товаров будет обозначаться следующими переменными:
— количество товара А в запасе у игрока,
— количество товара В в запасе у игрока,
Где
. (1)
И введем переменные для обозначения агрегированного количества запасов, находящихся в модели:
, где .(2)
Далее введем ряд понятий, используемых в работе и необходимых для дальнейшей постановки игры: предложение на продажу, ставка на покупку и ставка на . Введем понятие предложения в рассматриваемой игре. здесь и далее под предложением на продажу будет пониматься предложенное игроком количество имеющегося у него в запасе товара, которое он готов и может продать другому игроку. Введем следующие переменные для обозначения предложений на продажу игроков:
— предложение на продажу товара А, сделанное Игроком 1;
— предложение на продажу товара А, сделанное Игроком 2;
— предложение на продажу товара B, сделанное Игроком 1;
— предложение на продажу товара B, сделанное Игроком 2;
.(3)
Введем понятие ставки на . Здесь и далее под ставкой на игрока будет пониматься количество денег, которое игрок обязуется вернуть банку после завершения игры взамен суммы полученного кредита. Полученные в кредит деньги — банковские деньги. При этом игрок не знает, какую сумму банковских денег он получит в кредит, то есть не знает размер кредита. Такая ставка на по своей сути напоминает вексель — письменное долговое обязательство, установленной формы, наделяющее его владельца (в нашем случае банк) безоговорочным правом требовать с векселедателя (игрока) безусловной оплаты указанной суммы денег к определенному сроку. Введем следующие переменные для обозначения ставок на игроков:
— ставка на кредит, сделанная Игроком 1;
— ставка на , сделанная Игроком 2;
где .- количество денег Банка, которое он выделяет под цели кредитования игроков, .
вместе с переменными для обозначения ставок на для каждого игрока введем параметры наказания за невыполнение договора займа (за дефолт):
, где .(4)
Введем понятие ставки на покупку. Здесь и далее под ставкой на покупку будет пониматься предложенное игроком количество банковских денег, определение которых будет дано позже, которое он может и готов отдать на покупку определенного товара у другого игрока. Введем следующие переменные для обозначения ставок на покупки игроков:
— ставка на покупку товара А, сделанная Игроком 1;
— ставка на покупку товара А, сделанная Игроком 2;
— ставка на покупку товара B, сделанная Игроком 1;
— ставка на покупку товара B, сделанная Игроком 2;
.(5)
Для обоих понятий введем также дополнительные переменные для обозначения агрегированных показателей:
,
. (6)
2.2 Формирование цены товара
Введем переменные для обозначения цены товаров А и B:
— цена на товар А,
— цена на товар B,
где .
Механизм ценообразования на рынке определим следующим образом. Цена на товар будет формироваться через отношение агрегированных ставок на покупку к агрегированному предложению на продажу того же товара.
При таком механизме формирования цены на товары можно заметить следующее. На рынке с конечным числом игроков каждый игрок обладает рыночным влиянием, которое определяет его воздействие на финальную цену товара. При участии двух игроков такое влияние особенно ярко выражено, что влечет за собой негативные последствия для решения игры, как будет замечено далее в работе в пункте 2.2.1.Свойства стратегических рыночных игр.
рисунок 1. Формирование цены на товары
Тогда количество полученного i-м игроком товара в результате торговли будет выражаться следующим образом:
—
количество товара А, купленного i-м игроком;
—
количество товара B, купленного i-м игроком;
где .
2.3 Процесс кредитования игроков в Банке
Пусть M — количество денег Банка, которое он выделяет под цели кредитования игроков. Пусть — это сделанные игроками ставки на кредит. Как уже отмечалось в п.1.1, ставки на игроков делаются в банковских деньгах, которые должны быть взяты у банка в виде кредита. сущность модели «Банк» при этом представляется как некоторый механизм. В том смысле, что его заданному алгоритму. В то время как в реальности банки руководствуются куда более сложным набором критериев.
Определим понятие реальной стоимости банковских денег (ставки доходности) и отразим процесс ее формирования на Рисунке 2.
,
где r — ставка доходности денег (стоимость банковских денег).
Рисунок 2. Формирование стоимости банковских денег
Тогда сумма полученных игроками кредитов (количество полученные игроками банковских денег в результате кредитования) будут введены следующим образом:
—
количество банковских денег, полученных Игроком 1, или, иными словами, полученный им кредит;
—
количество банковских денег, полученных Игроком 2, или, иными словами, полученный им кредит;
где .
При этом за невыплату по кредиту игроки 1-ый и 2-ой будут оштрафованы в размере наказаний банковских денег соответственно.
Бюджетные ограничения
Введем бюджетные ограничения игроков. бюджетное ограничение выражает ограничение на то, что расходы игрока не могут превышать его доходы.
Для Игрока 1 в соответствии с введенными ранее переменными и понятиями бюджетное ограничение будет иметь вид:
.
Для Игрока 2 в соответствии с введенными ранее переменными и понятиями бюджетное ограничение будет иметь вид:
.
2.4 Постановка игры
Заметим, что здесь и далее в работе мы будем рассматривать нетривиальный случай модели, то есть предполагаем, что торговля товарами и кредитование игроков совершается.
Для удобства дальнейшей работы с построенной моделью сделаем ряд обобщающих вышеизложенный материал действий. Ниже приведем Таблицу 1, содержащую все введенные основные переменные.
Таблица 1. Основные переменные, формулы и обозначения модели
суть переменнойИгрок 1Игрок 2Набор запаса товаровСтавка на покупку товара АСтавка на покупку товара BПредложение на продажу товара АПредложение на продажу товара BКупленное количество товара АКупленное количество товара BСтавка на кредитПолученный кредитНаказание за дефолтПеременные агрегированных данныхЦены на товарыЦена на товар АЦена на товар B
Игроки, «посылают сообщения», в котором зафиксирован Игрок i и его решение по тому что, в каком количестве он будет продавать/покупать. Такое сообщение в экономике будет считаться достоверным, и представлять собой активную (выбранную в данный момент) стратегию Игрока i, которую он решил сыграть. Для каждого товара в экономике (товар А, товар В и деньги) будет свой отдельный торговый пост (Рынок), который обрабатывает принятые сообщения, осуществляет торговлю, доставку и реализует по определенным заранее правилам, алгоритмам процессы формирования цены и кредитования.
Тогда в нашей экономике (большом рынке) будут возникать три рынка в срезе «товар — торговый пост». Нарисуем получившуюся рыночную модель (рисунок 3).
Рисунок 3. Функционирование модели
Каждый игрок обладает набором переменных, которые он сам определяет. А также переменными, которые являются лишь данными на начальный момент игры. Так, переменные, отвечающие за количество запасов товаров, являются данными на начальный момент игры. Из Рисунка 3 наглядно видно, что прямого участия в дальнейшем формировании рынков они не принимают. А вот набор из оставшихся 5 переменных для каждого игрока определяет формирование рынков и является выбором самих игроков в момент совершения хода. Другими словами, множество всех возможных наборов переменных задает множество стратегий для Игрока 1.
(9)
А множество всех возможных наборов переменных задает множество стратегий для Игрока 2.
(10)
В стратегической рыночной игре должны быть определены платежи. Для каждого игрока платежи определяются платежными функциями, которые показывают результатную величину, которая получается при выборе фиксированной стратегии Игроком 1 и фиксированной стратегии Игроком 2.
Введем функции платежей для обоих игроков соответственно.
(11)
Запишем в другом виде и поясним детально структуру платежной функции:
(11.1), где
(12),
где
— полезность от купленного и оставшегося в наличии по окончании торговли товара А,
— полезность от купленного и оставшегося в наличии по окончании торговли товара B.
Отсюда видно, что выражение (12) задает функцию ожидаемой полезности для Игрока 1.
(13),
где
— Доход Игрока 1 от торговли товарами,
— расход Игрока 1 из-за торговли товарами,
— кредит Игрока 1, — его выплаты по кредиту.
Выражение (13) задает наказание для Игрока 1 в случае дефолта и отражает действие бюджетных ограничений, заданных в п.1.3.1.
Перепишем выражение (13), представив его в виде не строго математического выражения:
(13.1)
Тогда из (13.1) выводится принцип действия наказания за дефолт для игроков. Сформулируем его следующим образом. В случае положительного остатка денежных средств у Игрока i после произведения всех выплат и подсчетов по результатам торговли, его наказание будет по своей величине равно 0, то есть он его избежит. В случае отрицательного остатка денежных средств (задолженности) у Игрока i после произведения всех выплат и подсчетов по результатам торговли, его ждет наказание, по своей величине прямо пропорциональное величине его задолженности, при этом коэффициент пропорциональности задается параметром .
Аналогичным образом введем функцию платежей для Игрока 2:
(14)
Запишем в аналогичном выражению (11.1) виде:
(14.1),
(15),
(16),
Выражение (15) задает функцию ожидаемой полезности для Игрока 2.
Выражение (16) задает наказание для Игрока 2 в случае дефолта.
стратегический рыночный игра максимизация
2.5 Упрощение модели и постановка задачи максимизации
·сохранит сущности модели и их определения
·сохранит принцип действия модели
·сохранит наличие тривиального и нетривиального случаев
·сохранит смысл и структуру полученных результатов.
.6 Упрощение модели
Пусть Игрок 1 обладает нулевым запасом товара B, а Игрок 2 обладает нулевым запасом товара A, тогда для них обнулятся следующие переменные:
Отразим в таблице 2 актуализированные данные с учетом принятых упрощений.
Таблица 2. основные переменные, формулы и обозначения упрощенной модели
суть переменнойИгрок 1Игрок 2Набор запаса товаровСтавка на покупку товара АСтавка на покупку товара BПредложение на продажу товара АПредложение на продажу товара BКупленное количество товара АКупленное количество товара BСтавка на кредитПолученный кредитНаказание за дефолтПеременные агрегированных данныхЦены на товарыЦена на товар АЦена на товар B
Бюджетные ограничения для Игрока 1:
запишутся в виде
В итоге для Игрока 1 будем иметь бюджетные ограничения:
Бюджетные ограничения для Игрока 2:
запишутся в виде
В итоге для Игрока 2 будем иметь бюджетные ограничения:
Структура рынка и количество рынков в игре остаются неизменными и по-прежнему соответствуют Рисунку 3 в п.1.4.
Сократив количество переменных, участвующих в стратегиях каждого игрока, мы пришли к желаемому результату, а именно к уменьшению размерности функций платежей и ожидаемой полезности за счет новой структуры множества стратегий игроков:
(21)
А множество всех возможных стратегий для Игрока 2 задается множеством стратегий .
(22).
Функции платежей, ожидаемой полезности и наказания для Игрока 1, ранее записанные в выражениях (11)-(13), будут иметь вид:
(23)
(23.1), где
(24),
где
— полезность от оставшегося в наличии по окончании торговли товара А,
— полезность от купленного товара B.
Выражение (24) задает функцию ожидаемой полезности для Игрока 1 в упрощенной модели.
(25),
где
— доход Игрока 1 от торговли товарами,
— расход Игрока 1 из-за торговли товарами,
— кредит Игрока 1, — его выплаты по кредиту.
Выражение (25) задает наказание для Игрока 1 в случае дефолта и отражает действие бюджетных ограничений.
Функции платежей, ожидаемой полезности и наказания для Игрока 2, ранее записанные в выражениях (14)-(16), будут иметь вид:
(26)
Запишем в аналогичном выражению (23.1) виде:
(26.1),
(27),
(28).
Выражение (27) задает функцию ожидаемой полезности для Игрока 2.
Выражение (28) задает наказание для Игрока 2 в случае дефолта и отражает действие его бюджетных ограничений.
2.7 Ожидаемая полезность и проблемы максимизации
Каждый игрок i имеет задачу максимизации ожидаемой полезности:
с учетом ценообразования и правил распределения определенных выше. Игрок i максимизирует функцию ожидаемой полезности от торговли путем воздействия на формирование рыночных цен.
Стратегические рыночные игры, заданные набором — это игры для стратегического перераспределения ресурсов в рамках общего равновесия. таким образом, стратегическая рыночная игра имеет свойства механизма перераспределения ресурсов и свойства некооперативной игры.
Равновесие Нэша в чистых стратегиях это набор стратегий , для которого
(30)
свойства стратегических рыночных игр
1)Существования равновесия
тривиальное равновесие, то есть равновесие, когда все игроки выбирают тривиальную стратегию, или стратегию без торговли, всегда является равновесием в игре.
Однако, как упоминалось в работе ранее, такое равновесие нам не интересно для исследования.
В исходной модели если игрок использует нетривиальную стратегию, то есть стратегию с ненулевой торговлей, то в функции ожидаемой полезности появляется разрывы (точки сингулярности), которые осложняют задачу анализа игры. Поэтому, рассматривая упрощенную модель, мы не будем прибегать к методам анализа, которые были бы невозможны в исходной модели, чтобы сохранить репрезентативность результатов нашего анализа.
)Эффективность решения
В работе [16] продемонстрировано, что обычно стратегические рыночные игры с конечным числом игроков неэффективны, потому что каждый игрок стремится как можно больше использовать свое влияние на рынок ценообразования. Асимптотическая эффективность стратегических рыночных игр была рассмотрена в работе [10] Для стандартных предположений они доказали, что для небольшого количества игроков результат стратегических рыночных игр неэффективен, однако, он имеет асимптотическую сходимость к эффективному решению для задачи с количеством игроков, устремленным к бесконечности. То есть когда индивидуальное рыночное влияние становится незначительным.
)Тривиальная стратегия
тривиальная стратегия — стратегия, в которой ставки и предложения игрока нулевые. Как уже говорилось ранее, тривиальные стратегии в стратегических рыночных играх ведут к нулевой торговле. Если тривиальное равновесие — единственное равновесие в игре, то изначальное распределение ресурсов уже и есть оптимальное множество Парето, и в игре не существует равновесия с торговлей.
В некоторых стратегических рыночных играх существуют множественные торговые равновесия. В работах [18] и [17] было показано, что, если существует одно торговое равновесие для конечного числа игроков, то обязательно есть и другие торговые равновесные стратегии.
Неопределенность с множественностью равновесия может быть преодолена путем использования смешанных стратегий для стратегических рыночных игр. такой метод описан в статье [3]. Подход решения задачи в смешанных стратегиях избегает проблемы тривиального равновесия, так как тривиальным стратегиям присваивается вероятностная мера 0 (если есть хотя бы одно нетривиальное равновесие).
.8 Постановка решения в смешанных стратегиях
Неопределенность в стратегиях вынуждает игроков задаться вопросом, как преодолеть ее, используя смешанные стратегии, и как их построить численно. Смешанные стратегии на предположения одного игрока о поведении другого. Такой подход был изучен в эпистемологической теории игр в работе Бранденбурга [15]. критерий для выбора предположений о действиях другого игрока (или функция распределения вероятностей равновесия) определяется доминированием функции ожидаемой полезности.
Запишем тогда вероятностные функции ожидаемой полезности для игроков.
Для Игрока 1:
где — вероятностная мера, вероятность того, что игрок j выбрал стратегию из набора стратегий .
— вероятность того, что Игрок 1 продаст количество товара А, купит на денежные средства в размере банковских денег товар B у Игрока 2 и подпишет с банком обязательства на возврат банковских денег.
— вероятность того, что Игрок 2 продаст количество товара B, купит на денежные средства в размере банковских денег товар A у Игрока 1 и подпишет с банком обязательства на возврат банковских денег.
Аналогично запишем функцию распределения для Игрока 2.
Тогда формулы (31) и (32) задают функцию ожидаемой полезности для игроков 1 и 2 соответственно, с условиями нормализации (33) и (34):
Взять такие интегралы мы не можем, однако, можем сделать их матричную аппроксимацию [3,5]. Для аппроксимирования будет использовать узлы полиномов Чебышева 1-го типа, которые дают лучшее приближение в классе полиномов с заданной точностью.
далее запишем задачу максимизации функции платежей для смешанных стратегий. чтобы построить смешанные стратегии, нам нужно уравнения Эйлера-Лагранжа для каждого игрока. Для Игрока 1 такое уравнение будет иметь вид:
,
где будет оптимальной смешанной стратегией игрока i, отвечающей стратегии , и множителю Лагранжа . Смешанная оптимальная стратегия это набор двух функций , удовлетворяющих условиям нормализации (33)-(34)
Для Игрока 2 уравнение Эйлера-Лагранжа будет иметь вид:
.
В выражениях (35)-(36)
.
Смешанные стратегии могут быть подсчитаны численно из условий первого порядка.
— условие первого порядка для Игрока 1.
— условие первого порядка для Игрока 2.
Выражения (37)-(38) являются интегральными уравнениями Фредгольма 1-го рода, которые являются некорректными задачами. Они требуют специальных численных методов решений, например, регуляризации Тихонова.
2.9Численная аппроксимация
Для численного исследования мы выбрали следующие граничные значения:
·запасы игроков: ,
·деньги в банке под кредитование:,
·параметры наказания: .
Матричная аппроксимация
чтобы аппроксимировать интегралы (31) и (32)
как матрицу, нам нужно выбрать точки приближения. Такие точки будут называться точками коллокации. Для выбора точек коллокации мы будем использовать узлы полиномов Чебышева первого типа. Такие полиномы дают наилучшее приближение в классе полиномов с заданной точностью. Их особенностью является учащающиеся точки коллокации вблизи границ областей. Эту особенность мы увидим на рисунках ниже.
Пусть dim — это количество точек коллокации, которые будут браться в каждом измерении вектора стратегии (измерений у него 3). На Рисунках 4.А, 4.В изображены точки коллокации для заданной точности dim=3 (считает27 точек). На Рисунках 5.А, 5.В изображены точки коллокации для заданной точности dim=5 (считает 125 точек). На Рисунках 6.А, 6.В изображены точки коллокации для заданной точности dim=7 (считает 343 точки). На Рисунках 7.А, 7.В изображены точки коллокации для заданной точности dim=10(считает 1000 точек).
желтые точки — точки коллокации для Игрока 2, синие — для Игрока 1.
Рисунок 4.А. Точки коллокации, dim=3, вид 1
рисунок 4.В. Точки коллокации, dim=3, вид 2
Рисунок 5.А. Точки коллокации, dim=5, вид 1
рисунок 5.В. Точки коллокации, dim=5, вид 2
Рисунок 6.А. Точки коллокации, dim=7, вид 1
рисунок 6.В Точки коллокации, dim=7, вид 2
Рисунок 7.А. Точки коллокации, dim=10, вид 1
рисунок 7.В. Точки коллокации, dim=10, вид 2
2.10 Регуляризация и решение задачи
Во всех точках коллокации производятся вычисления для целевых функций (31) и (32), а затем пересчет для ядер условий первого порядка уравнений Фредгольма (37) и (38) соответственно. Пусть для Игрока 1 ядро уравнения (37) будет записано в форме тензора 3-го порядка. При помощи методов трансформации тензоров 3-го порядка к тензорам 2-го порядка (обычным матрицам), изложенных в книге [6], приводим тензор 3-го порядка к матрице значений .
По сути, теперь задача нахождения распределения смешанных стратегий для Игрока 1 сводится к решению матричного уравнения
.
Но, из предшествующих работ, мы знаем, что такая задача некорректна. Поэтому воспользуемся методом регуляризации Тихонова.
Пусть — единичная матрица той же размерности, что и матрица . Тогда в соответствии с методом регуляризации Тихонова составим уравнение:
где — параметр регуляризации, а верхний штрих — транспонирование матрицы. — неизвестная вероятность, что Игрок 2 выберет стратегию
Решение этого линейного матричного уравнения ищется как стандартное решение линейного обыкновенного уравнения методом наименьших квадратов:
Метод регуляризации Тихонова не гарантирует, что мы получим положительные значения. Но у нас есть гибкость в вопросе выбора значения множителя Лагранжа . Поэтому мы можем просто поднять всю область решений и сделать их неотрицательными, а потом нормализовать. Для точности аппроксимации dim и параметра регуляризации нормализация будет:
Выражение (35) гарантирует, что все решения неотрицательные и нормализованные.
В итоге мы получаем совместное распределение смешанных стратегий.
Сделав аналогичные вычисления после определения точек коллокации для Игрока 2, мы получим и его функцию совместного распределения смешанных стратегий.
рисунок 8. Таблица вариаций приближенного решения уравнения Фредгольма 1-го рода для Игрока 1
рисунок 9. Таблица вариаций приближенного решения уравнения Фредгольма 1-го рода для Игрока 1
На рисунках 8 и 9 отражены таблицы вариаций приближенных решений уравнения Фредгольма 1-го рода для Игрока 1 и Игрока 2, соответственно.
структура таблицы имеет следующий вид:
·значения в столбцах задают параметр регуляризации Тихонова;
·значения в строках — число разбиений для определения точек коллокации;
·первое значение в каждой ячейке — это точность приближения в условии первого порядка, измеренная разницей мах значение приближения константы в условии первого порядка минус минимум от того же;
·второе значение в каждой ячейке — вариация оцененного условия первого порядка (левая часть уравнения Фредгольма 1-го типа);
·третье ·четвертое значение в каждой ячейке — это детерминант матрицы, используемой в решении приближенного уравнения.
Из рисунков 8 и 9 мы видим проявление эффекта некорректности задачи — вариация левой части условия первого порядка растет, но падает вариация построенной неизвестной функции.
На основе индивидуально-рациональных стратегий спроса на деньги, полученного как предельное распределение решения, подсчитаем вероятностное распределение процентной ставки. Результаты подсчетов отражены на рисунке 10.
рисунок 10. Вероятностное распределение процентной ставки
анализ этого распределения показывает, что изменения в стратегии игрока при прочих неизменных показателях модели приводит к изменению процентной ставки. Этот эффект показывает непостоянство процентной ставки в ответ на рациональное использование смешанных стратегий каждым игроком.
Заключение
В данной работе была рассмотрена стратегическая рыночная игра с двумя игроками и внешним банком. Целью работы было численного моделирование индивидуального спроса на деньги в стратегических рыночных играх.
Для достижения поставленной цели были реализованы следующие шаги:
. Была сформирована и описана структура рынков в игре: два рынка потребительских товаров и один Рынок кредитов.
. По условиям работ, правилами рынка кредитов было определено наличие наказания за дефолт. Наказание создает мотивацию возвращать . В работе был формально описан принцип действия наказания, само наказание было включено в функции платежей игроков.
. чтобы найти такое решение в смешанных стратегиях была решена некорректная задача решения уравнения Фредгольма 1-го рода путем использования матричной аппроксимации на узлах полиномов Чебышев первого типа и последующим применением метода регуляризации Тихонова.
. В итоге, было найдено приближение распределения смешанных стратегий для каждого игрока. Такое распределение характеризует распределение индивидуально-рациональных стратегий поведения каждого игрока. точное аналитическое выражение для решения уравнения Фредгольма 1-ого рода не существует, поэтому численное моделирование -это единственные способ получения результата.
На основе индивидуально-рациональных стратегий спроса на деньги, полученного как предельное распределение решения, подсчитано вероятностное распределение процентной ставки. анализ этого распределения показывает, что изменения в стратегии игрока при прочих неизменных показателях модели приводит к изменению процентной ставки. Этот эффект показывает непостоянство процентной ставки в ответ на рациональное использование смешанных стратегий каждым игроком. Полученный результат требует дальнейшего изучения и применения для понимания взаимодействия реального и финансового секторов экономики.
таким образом, цель данной исследовательской работы была полностью достигнута.
Список литературы
.Martin Shubik and Charles Wilson, The Optimal Bankruptcy in a Trading Economy Using Fiat Money, New Haven, Conn., U.S.A., 1977
.Martin Shubik, D.P.Tsomoscos, A Strategic Market Game with a Mutual Bank With Fractional Reserves and Redemption in Gold, Yale University, New Haven, Connecticut, 1990
.Dmitry Levando, A Survey of Strategic Market Games, 2012
.M.Shubik — Yale University, C, Goodhart — London School of Econmics, D.P.Tsomoscos and N,Romanids — University of Oxford, Macro-modelling, default and money, 2016
.Kabanikhin S.I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications, Berlin: De Gruyter, 2013. — 476 p.
.Toshio Sakata, Toshio Sumi and Mitsuhiro Miyazaky, Algebraic and Computational Aspects of Real Tensor Ranks, Springer, 2016 — 108p.
.Amir, R., Sahi, S., Shubik, M. & Yao, S. (1990). A strategic market game with complete markets. Journal of Economic Theory, 51 (1), pp. 126-143.
.Angerer, M., Huber, J., Shubik, M. & Sunder, S. (2010). An economy with personal currency: theory and experimental evidence, Annals of Finance, 6 (4), pp. 475-509.
.Dubey, P., Geanakoplos, J. (2003). From Nash to Walras via Shapley-Shubik. Journal of Mathematical Economics, 39 (5-6), pp. 391-400.
.Dubey, P., Mas-Colell A. & Shubik M. (1980). Efficiency properties of strategies market games: An axiomatic approach. Journal of Economic Theory, 22 (2), pp. 339-362.
.Dubey, P. and Shubik, M. (1977). Trade and prices in a closed economy with exogeneous uncertainty, different levels of information, money and compound futures markets. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pp. 1657-1680.
.Dubey, P. and Shubik, M. (1980). A strategic market game with price and quantity strategies. Journal of Economics, 40 (1), pp. 25-34.
.Dubey, P. and Shubik, M. (1978). A Theory of Money and Financial Institutions. Part 37. The Profit Maximizing Firm: Managers and Stockholders. (Cowles Foundation Discussion Paper No. 483), Yale University, New Haven.
.Dubey, P., Shubik, M. (1977). A closed economic system with prqduction and exchange modeled as a game of strategy. Journal of Mathematical Economics, 4, pp. 253-287.
.Brandenburger A. (2008). Epistemic game theory: an overview. In The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Basingstoke
.Dubey, P. (1980). Nash equilibria of market games: Finiteness and inefficiency. Journal of Economic Theory, 22 (2), pp. 363-376.
.Peck, J., Shell, K., & Spear, S. (1992). The market game: existence and structure of equilibrium. Journal of Mathematical Economics, 21 (3), pp. 271-99.
.Huber, J., Shubik, M. & Sunder, S. (2009). Default Penalty as Disciplinary and Selection Mechanism in Presence of Multiple Equilibria. (Cowles Foundation Discussion Paper No. 1730). Yale University, New Haven.