Учебная работа. Математическое и компьютерное моделирование срочных рент, непрерывных рент и рент, выплачиваемых несколько раз в год
Математическое и компьютерное моделирование срочных рент, непрерывных рент и рент, выплачиваемых несколько раз в год.
Введение
страхование рента стоимость
В настоящее время процесс страхования — механизм стабилизации финансовой сферы. Заключение контракта личного страхования (жизни или смерти) предотвращает дисбаланс в финансовой сфере. В страховании объектом анализа являются вероятностные процессы. Последовательность взносов страхователя (или страховые выплаты) имеет вид потока регулярных платежей. Выплата денег ставится в зависимость от условия — от жизни или смерти застрахованного, так что количество платежей в потоке заранее неизвестно. Такие ренты называются условными или страховыми. Они используются для анализа различных типов страховых контрактов.
Целью дипломной работы математическое и компьютерное моделирование срочных рент, непрерывных рент и рент, выплачиваемых несколько раз в год.
Для достижения поставленной цели необходимо решение ряда задач:
теоретическое изучение видов страховых рент;
— исследование математических моделей: срочной ренты, непрерывной ренты, и ренты, выплачиваемой несколько раз в год;
— разработка компьютерной модели для:
расчета актуарной стоимости срочной ренты, непрерывной ренты и ренты, выплачиваемой несколько раз в год.
определения стоимости страхового полиса непрерывных и периодических рент
расчета величин ежегодных выплат для срочных рент, непрерывных и периодических рент
1 Страхование рент
Страхование — передача риска от одного носителя (страхователя) другому (специализированной организации — страховой компании, страховщику) за определенную плату, называемую ценой страхования, тарифной ставкой или страховой премией.
Страховые контракты относятся к специальному виду финансовых контрактов и представляют собой в простейшем случае сделку между двумя субъектами (лицами): страхователем — лицом, которое страхуется, и страховщиком — лицом, которое страхует страхователя от определенного риска.
В соответствии с заключенным страховым договором (контрактом) страхователь имеет Право получить страховую сумму в случае наступления оговоренного в контракте страхового события. В свою очередь, страхователь уплачивает страховщику взнос, называемый премией (premium). Выплата страховой суммы, или премии, может иметь вид разового платежа, а может быть серией регулярных выплат, т.е. являться страховой рентой.
Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах:
1) страхование сумм (капитала) — при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег.
2) страхование рент (аннуитетов) — страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно.
Страховая рента (аннуитет) — регулярные выплаты через равные промежутки времени.
Страховая рента отличается от обычной финансовой ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив, то есть является условной рентой.
1.1Виды рент
Таблица 1.1. Таблицы коммутационных функций
Виды рент1. пожизненные ренты2. Срочные ренты3. Отложенные ренты4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год1.1 Обыкновенная пожизненная рента (пожизненная рента постнумерандо) — выплачивается в конце каждого года дожития в течение всей жизни застрахованного.2.1. обыкновенная срочная рента (срочная рента постнумерандо) — серия выплат единичной суммы, производимых раз в год в конце года пожизненно, начиная с некоторого момента, но ограниченное число лет.3.1. Отложенная на лет обыкновенная пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится.Встречаются значительно чаще, чем ежегодные ренты. Выплаты производятся несколько раз в год. Так, например, пенсии выплачиваются ежемесячно. Если выплаты ренты происходят достаточно часто (например, еженедельно), то можно считать, что процесс выплаты рент непрерывен (непрерывные ренты).
1.2. Приведенная пожизненная рента (пожизненная рента пренумерандо) — в этом случае платежи осуществляются в начале каждого временного периода в течение всей жизни застрахованного.2.2. Приведенная срочная рента (срочная рента пренумерандо) — серия выплат единичной суммы, производимых раз в год пожизненно, начиная с некоторого момента, но ограниченное число лет.3.2. Отложенная на лет приведенная (пренумерандо) пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится.
Страхование рент является разновидностью страхования на дожитие, когда вместо единовременной выплаты по дожитию до срока окончания договора предусмотрен ряд регулярных страховых выплат в течение некоторого периода времени или пожизненно (при условии дожития до сроков выплаты). поэтому в дополнение к периоду уплаты страховой премии и выжидательному периоду, предусмотренными при страховании на дожитие, здесь выделяют также период страховых выплат, в течение которого страховщик выполняет свои финансовые обязанности по отношению к страхователю.
.2 обыкновенная срочная рента
Если выплата ренты ограничена определенным сроком, например лет, то рента называется срочной.
Пусть — настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента — лет. Обыкновенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год в конце года пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1. обыкновенная срочная рента
Стоимость обыкновенной срочной ренты
.
1.3 Приведенная срочная рента
Пусть — настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента — лет. Приведенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет. Таким образом, если человек проживет еще лет (т.е. если ), то производится ровно выплат в начале каждого года; если же , то производится выплат.
рисунок 1.2. Приведенная срочная рента
Стоимость приведенной срочной ренты
.
.4 Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
Ежегодные ренты встречаются значительно реже, чем ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Так, например, пенсии выплачиваются ежемесячно. Страховые премии также часто вносятся ежемесячно или ежеквартально. Принципы расчета текущей стоимости этих рент такие же, как и в случае ежегодных рент, однако вывод окончательных формул более сложен в связи с тем, что необходимо уметь вычислять дисконтные множители и численность доживающих для интервалов времени, длительность которых менее года. Для дисконтных множителей мы предполагаем, что наращивание процентов происходит непрерывно; для промежуточных же значений численности доживающих используется линейная интерполяция
; .
Рассмотрим авансированную срочную ренту, выплачиваемую раз в год. Величина каждой выплаты равна , поэтому суммарная выплата за год, как и в случае ежегодной ренты, равна единице.
Рисунок 1.3. Выплаты авансированной срочной ренты
Текущая стоимость этой ренты обозначается так же, как и для ежегодной ренты, но с верхним индексом :
.(1.1)
Простые формулы для q-кратных рент
Если только для числа доживающих, но и для дисконтного множителя (т.е. в пределах года начисление процентов происходит по закону простых процентов). Тогда и для коммутационной функции также будет справедлива линейная интерполяция в пределах года:
.(1.2)
Подставим формулу (1.2) в формулу (1.1) и выполним суммирование по :
;
.
затем выполним суммирование по с использованием формулы для суммы членов арифметической прогрессии:
.(1.3)
Аналогичным образом можно получить и формулу для обычной ренты
.(1.4)
Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция (1.2) для неприменима, и требуется более детальный анализ.
Точные формулы для q-кратных рент для произвольной процентной ставки
Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция (1.2) для неприменима. поэтому будем использовать в расчетах линейную интерполяцию только для числа доживающих (), для дисконтных же множителей будем использовать точные выражения. В результате получим
;
.
Где ; ;
— фактические процентная и учетная ставки за период, равный 1/q части года, определяемые формулами;
; (эффективная процентная ставка);
; (эффективная годовая учетная ставка).
Непрерывные ренты
Если выплаты ренты происходят достаточно часто, то можно считать, что процесс выплаты рент непрерывен (особенно для еженедельных выплат). Текущую стоимость непрерывной ренты легко получить из формул (1.3) или (1.4) при :
.
1.5 Коммутационные функции
Таблица 1.2. Коммутационные функции
Коммутационные функции
где — количество лиц возраста х, оставшихся в живых из первоначальной совокупности 100 тыс. человек.
— количество человек, умерших в течение года после возраста лет.
— вероятность умереть в течение года после достижения лет.
Очевидны следующие соотношения:
; ;
Вероятность прожить, по крайней мере, еще один год лицу в возрасте лет:
;
Вероятность дожить от возраста до :
.
1.6 Стоимость рент
В следующей таблице приводятся основные формулы для определения величины взносов для различных видов рент (таблица 1.3).
Таблица 1.3. Виды рент
РентыПриведенная (пренумерандо)обыкновенная (постнумерандо)Пожизненные
Срочные
Ренты, выплачиваемые несколько раз в год (простые формулы) (если несколько раз в год (точные формулы) (если — фактические процентная и учетная ставки за период равный части года:
; (эффективная процентная ставка);
; (эффективная годовая учетная ставка).Непрерывные ренты
2. Математическое моделирование срочной, непрерывной ренты и ренты, выплачиваемой несколько раз в год
.1 Определение актуарной стоимости обыкновенной срочной ренты
Расчет стоимости страхового полиса для женщин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой единожды в конце года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для женщины в возрасте 55 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст женщины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
Расчет стоимости страхового полиса для мужчин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой единожды в конце года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для мужчины в возрасте 65 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст мужчины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
2.2 Определение актуарной стоимости приведенной срочной ренты
Расчет стоимости страхового полиса для женщин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой единожды в начале года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для женщины в возрасте 55 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст женщины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
Расчет стоимости страхового полиса для мужчин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой единожды в начале года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для мужчины в возрасте 65 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст мужчины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
Расчет стоимости страхового полиса для женщин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой ежеквартально в конце года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для женщины в возрасте 55 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (это числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст женщины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— количество выплат в году.
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
Расчет стоимости страхового полиса для мужчин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой ежемесячно в начале года, в размере 10 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для мужчины в возрасте 65 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационные числа и (это числа находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст мужчины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— количество выплат в году.
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Актуарная современная стоимость ренты равна:
Стоимость полиса равна:
2.4 Определение актуарной стоимости непрерывной ренты
Расчет стоимости страхового полиса для женщин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой еженедельно в течении года, в размере 1 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для женщины в возрасте 55 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость срочной обыкновенной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость срочной приведенной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационное число (это число находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст женщины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Стоимость полиса равна:
Расчет стоимости страхового полиса для мужчин
Расчет актуарной современной стоимости ренты, выплачиваемой еженедельно в течении года, в размере 1 000 000 рублей, а так же стоимости полиса для мужчины в возрасте 65 лет.
— стоимость полиса.
— актуарная современная стоимость срочной обыкновенной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость срочной приведенной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).
— актуарная современная стоимость ренты, выраженная через коммутационное число (это число находят по таблице коммутационных чисел).
— возраст мужчины, приобретающей полис страхования жизни (лет).
— ограниченный период выплат (лет).
— ожидаемая текущая стоимость страховых выплат (руб.).
Стоимость полиса равна:
3. Компьютерное моделирование срочной, непрерывной ренты и ренты, выплачиваемой несколько раз в год
.1 Определение актуарной стоимости обыкновенной срочной ренты
На рисунке 1.4 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты постнумерандо.
рисунок 3.1. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты постнумерандо
На рисунке 1.5 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для женщин.
Рисунок 3.2. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.6 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты постнумерандо.
рисунок 3.3. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты постнумерандо
На рисунке 1.7 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для мужчин.
3.2 Определение актуарной стоимости приведенной срочной ренты
На рисунке 1.8 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты пренумерандо.
рисунок 3.5. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты пренумерандо
На рисунке 1.9 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для женщин.
Рисунок 3.6 Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.10 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты пренумерандо.
рисунок 3.7. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для срочной ренты пренумерандо
На рисунке 1.11 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для мужчин.
Рисунок 3.8. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
.3 Определение актуарной стоимости ренты, выплачиваемой несколько раз в год
На рисунке 1.12 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты постнумерандо.
рисунок 3.9. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты постнумерандо
На рисунке 1.13 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для женщин.
Рисунок 3.10. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.14 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты постнумерандо.
рисунок 3.11. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты постнумерандо
На рисунке 1.15 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для мужчин.
Рисунок 3.12. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.16 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты пренумерандо.
рисунок 3.13. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты пренумерандо
На рисунке 1.17 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для женщин.
Рисунок 3.14. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.18 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты пренумерандо
рисунок 3.15. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для периодической ренты пренумерандо
На рисунке 1.19 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для мужчин.
Рисунок 3.16 Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
.4 Определение актуарной стоимости непрерывной ренты
На рисунке 1.20 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для непрерывной ренты
Рисунок 3.17. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для непрерывной ренты
На рисунке 1.21 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для женщин.
Рисунок 3.18. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
На рисунке 1.22 показана форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для непрерывной ренты
Рисунок 3.19. Форма ввода данных при определении величины ежегодных выплат для непрерывной ренты
На рисунке 1.23 показан результат вычисления стоимости страхового полиса и величины ежегодных выплат для мужчин.
Рисунок 3.20. Стоимость страхового полиса и величина ежегодных выплат
Заключение
В работе были рассмотрены основные теоретические понятия страхования, виды рент. более подробно были исследованы обыкновенная и приведенная срочная рента, непрерывная рента, рента выплачиваемая несколько раз в год. Целью дипломной работы является математическое и компьютерное моделирование срочных рент, непрерывных рент и рент, выплачиваемых несколько раз в год.
Поставленная цель была достигнута проведением математического и компьютерного моделирование срочной ренты, непрерывной ренты и ренты, выплачиваемой несколько раз в год.
С помощью математической и компьютерной модели была определена актуарная стоимость обычной срочной ренты, актуарная стоимость приведенной срочной ренты, актуарная стоимость непрерывной ренты, актуарная стоимость ренты, выплачиваемой несколько раз в год, стоимости страховых полисов и величины ежегодных выплат для данных типов рент.
Результаты дипломной работы могут быть использованы на практике страховыми компаниями для моделирования страховых рент: обыкновенная и приведенная срочная рента, непрерывная рента, обычная и приведенная рента, выплачиваемая несколько раз в год. С помощью компьютерной модели можно производить расчет величины ежегодных выплат, стоимости страхового полиса.
список использованных источников
1 Фалин, Г.И. Актуарная математика в задачах/ Г.И. Фалин, А.И. Фалин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 192 с.
Медведев, Г.А. Математические модели финансовых рисков. Риски страхования/ Г.А. Медведев. — Мн.: БГУ, 2001. — 278 с.
3Buhlmann, H. Mathematical Methods in Risk Theory/ H. Buhlmann. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. — 324 p.
4Ротарь, В.И Введение в математическую теорию страхования / В.Е. Бенинг, В.И. Ротарь // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994. — №5. — С. 698 — 779.
5Gerber, H. An Introduction to Mathematical Risk Theory/ Н. Gerber. Homewood: Irwin Inc., 1979. — 285 p.
Daykin, C. Practical Risk Theory for Actuaries/ C. Daykin, T. Pentikainen, M. Pesonen. — London: Chapman & Hall, 1994. — 574 p.
7Эмбрехтс, П некоторые аспекты страховой математики/ П. Эмбрехтс, К. Клюппельберг // Теория вероятностей и её применения. 1993. — Т. 38, вып. 2. С. 374 — 416.