Учебная работа. Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КУБАНСКИЙ государственный УНИВЕРСИТЕТ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ методы ОЦЕНКИ КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Бамадио Бурейма

Краснодар — 2015

Оглавление

Введение

Глава 1. Литературный обзор математческих методов применяемых для оценки кредитоспособности предприятий

.1 анализ существующих моделей (зарубежных и российских) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий

.2 Среднеквадратичное приближение

.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства

.2.2 Норма матриц

.2.3 Наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве

.3 Выпуклые множества

.4 Выпуклые функции

.4.1 Выпуклые функции одной переменной

.4.2 Выпуклые функции многих переменных

.4.3 Сильно выпуклые функции

.5 Метод Ньютона для оптимизации функций

.5.1 метод Ньютона для нахождения экстремумов

.5.1 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона

.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств кредитоспособности предприятия

.7 Математические модели искусственных нейронных сетей

.7.1 Функции активации нейронной сети

1.7.2Архитектура (типы) нейронных сетей: многослойный персептрон

1.7.3 Алгоритм обратного распространения (back propagation)

.8 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита

.8.1 задачи однокритериальной оптимизации

.8.2 Задачи многокритериальной оптимизации

Выводы к главе 1

Глава 2. Разработка математических моделей оценки кредитоспособности предприятий на основе модели Альтмана

.1 Аппарат нечётких множеств, имитационного моделирования, и среднеквадратичное интегральное приближение как инструменты оценки кредитоспособности предприятия, порождаемых различными моделями (пятифакторной моделью Альтмана)

.1.1 задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n-й степени

.1.2 Функция принадлежности

2.1.3 Меры нечёткости множеств

2.1.4 Меры нечёткости множеств

.1.5 Примеры использования модели

.1.6 Имитационное моделирование

.2 метод Ньютона для нахождения экстремумов функционалов

.2.1 теорема о сходимости метода Ньютон

.2.2 Тестовые примеры для анализа сходимости модификаций метода Ньютона

.2.3 Влияние параметра регуляризации

.2.4 Минимизация функционала

.3 Выводы к главе 2

Глава 3. Разработка математической модели принятия решения на основе модели Бивера

.1 Определение значимости показателей и рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия с помощью моделей математической оптимизации

.2. Принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию в многокритериальных условиях оптимизации

.3 Модель системы оценки кредитоспособности с помощью нейросетевых технологий с обучающими параметрами Бивера

.4 Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита

3.4.1 Программный комплекс (Sini-Don)

3.4.2 Программный продукт (PDMSC)

.4.3 Программный продукт (PVRisk)

.5 Выводы к главе 3

Заключение

список литературы

Приложение

Введение

Актуальность и степень разработанности темы. Надёжная оценка кредитоспособности предприятия представляет собой сложную, ответственную и рисковую задачу для кредитующей организации (банка). В настоящее время математические методы и модели оценки кредитоспособности предприятия представляют собой важный инструмент кредитующей организации (банка) и для самого предприятия. Они позволяют кредитующим организациям (банкам) тщательно оценивать способности и возможности финансового состояния исследуемого предприятия перед принятием решения о возможности выдачи кредита. абсолютно надёжных методов не существует, но распространение получили математические методы оценки Альтмана и Бивера, которые допускают дальнейшее совершенствование и повышение достоверности даваемых ими оценок. предприятия, перед обращением в банк за кредитом, как правило, сами оценивают финансовое состояние своей деятель.

С другой стороны, при выдаче кредита, каждый банк имеет свои собственные методики оценки кредитоспособности и модели принятия решений, ускоряющие работу лица, принимающего решение (ЛПР). Оценка кредитоспособности с применением современного математического аппарата и программных средств недостаточно рассматривалось в научных исследованиях. Следовательно, тему диссертационной работы, сформулированную в рамках вышеуказанной проблемы, и результаты диссертационной работы, направленные на решение поставленных задач, следует признать актуальными и практически значимыми.

Анализы, построения и разработки математических моделей и методик в области кредитования достаточно представлены в значительных многих исследований разных российских и зарубежных ученых. Выделяются в среди западных учений, таких как Харриган Д., Альтман Э., Бивер В., Голдер М., Смитир Р., Таффлер Р., Лис Р., Спрингейт Г.,Чессер Р., Тишоу Г., Дюран Д., Хикман В., и др. значительный большой вклад в исследовании понятия и анализа проблемы оценки финансового состояния включая оценки кредитоспособности и прогнозирования банкротства в российской литературе внесли Бердникова Т.Б., Давыдовой Г.В., Грачева А.В., Ендовицкого Д.А., Донцовой Л.В., Беликова А.Ю., Зайцевой О.П., Ендовицкой А.В., Ковалева В.В., Кадыкова Г.Г., Коваленко А.В, Никифоровой Н.А., Савицкой Г.В., Патласова О.Ю., Сайфулина Р.С., Сергиенко О.В., Федотовой М.А., Стояновой Е.С., Фомина П.А., Калайдина Е.Н., Недосекина А.О., Давниса В.В., Булгоковы И.Н. и др. В ряде исследований отмечается, что в области кредитования, при оценке возможности принятия решения не существует идеальных количественных методов анализа проблемы оценки кредитоспособности предприятии. Все существующие методы дают лишь приблизительную оценку и большинство из них опирается только на дискриминантный анализ, что при мощности современного математического аппарата, считается в анализе комплексной системы кредитования недостаточно надёжным, с разных точек. поэтому специалистам кредитующей организации (банка), иногда, бывает затруднительно оценить достоверную кредитоспособность заёмщика. В связи с этими фактами, необходимы дальнейшие исследования, позволяющие разработать более достоверные методики оценки кредитоспособности изучаемых предприятий на основе различных математических аппаратов, в частности на основе оптимизационных методов.

Актуальность указанной научной проблемы состоит в недостаточной математической разработанности процедуры оценки кредитоспособности и финансового состояния предприятия-заемщика, методик принятия решения о возможности выдачи кредита. Недостаточная надёжность в практическом применении существующих методик в условиях современной экономики предопределили выбор данной темы.

Цель работы диссертации: Совершенствование математических моделей Альтмана и Бивера методами математической оптимизации и построение математических моделей, численных алгоритмов и комплексов программ для повышения надёжности оценки кредитоспособности предприятия.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

.В области математического моделирования:

Усовершенствована и исследована математическая модель достоверной оценки кредитоспособности предприятия, основанную на известной пятифакторной модели Альтмана, с использованием оптимизации, среднеквадратичного интегрального приближения, теории нечётких множеств и имитационного моделирования;

Предложена и исследована новые численные оптимизационные методы определения долей показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным;

Усовершенствована оптимизационная математическая модель принятия решений о кредитовании в условиях многокритериальной оптимизации портфеля Бивера;

. В области численных методов:

Обобщён приближенный численный метод Ньютона для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге; доказана теорема о сходимости предложенного процесса метода Ньютона.

.Разработаны комплексы программ, реализующих численные решения впервые поставленных оптимизационных задач: «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)» предназначена для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия; «программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)» предназначена для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства предприятия (модели Альтмана) на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования; «программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)» предназначена для определения доли (значимости) показателей Бивера меру рисков в портфеле, образованном этими же коэффициентами, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск) при оценке кредитоспособности исследуемого предприятия.

Объектом исследования являются методы Альтмана и Бивера оценки кредитоспособности предприятий.

Предметом исследования является аппарат математического моделирования, теория нечётких множеств, методы оптимизации применённые к оценке кредитоспособности предприятия.

Методология и методы диссертационного исследования являются фундаментальные разработки российских и зарубежных учёных по методам математического и имитационного моделированию, теории численных методов, теории нечётких множеств, анализу финансового состояния предприятия, нейросетевым технологиям, теории математической оптимизации и теории принятия решений для достижения поставленных задач. Для численных расчетов, в рамках данного исследования, использованы прикладные программные пакеты: Statistica 10 (STATISTICA Automated Neural Networks) и Mathcad 15.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в совершенствовании математических моделей Альтмана и Бивера, при анализе его финансового состояния для принятия обоснованного решения о возможности выдачи кредита. Разработка численных методов и алгоритмов для реализации построенных моделей, соответствующих комплексов программ, обладающих новыми возможностями по сравнению с существующими.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных автором:

В области математического моделирования:

.Усовершенствована, получившая широкое распространение, математическая пятифакторная модель Альтмана. Усовершенствования коснулись следующего: 1) Дискретные значения вероятностей банкротства в модели Альтмана заменены на непрерывные путём привнесения в модель функции наилучшего интегрального приближения 2) Для оценки степени принадлежности значений вероятностей множествам Альтмана, применяется теория нечётких множеств 3) Для демонстрации возможностей внесённых усовершенствований использовано имитационное моделирование.

.Разработаны новые оптимизационные подходы для минимизации рисков, путем определения долей показателей в однокритериальной модели Бивера. Предложена методика определения значимости показателей и рисков при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля.

.Предложены новые оптимизационные подходы для минимизации рисков в многокритериальной модели Бивера, основанных на свертке критериев.

В области численных методов:

.Для реализации численных оптимизационных методов построены целевые функции на основе метода внешних штрафных функций. Для оптимизации целевых функций используется метод Ньютона.

.Теоретически обобщён известный модифицированный метод Ньютона для решения систем уравнений на класс задач отыскания экстремума путем специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости.

В области создания комплексов программ:

.Разработаны комплексы программ «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заёмщика (Sini-Don)», «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)», «Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)», реализующие новые численные решения, выше указанных проблем для достоверной оценки кредитоспособности предприятия.

Научная и практическая значимость заключается в возможности применения кредитующими организациями (коммерческими банками) и предприятиями-заемщиками усовершенствованных математических моделей Альтмана и Бивера достоверной оценки кредитоспособности предприятий для повышения обоснованности принятия решения о возможности выдачи кредита. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут быть базой для дальнейших научных исследований в области математического моделирования экономических процессов. Изложенный в диссертации материал по применению оптимизационных методов может служить частью спецкурсов по построению математических моделей реальных процессов. Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности и доступен другим пользователям.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов обоснованы строгой математической постановкой проблемы, применением точных методов современных информационных технологий (математических пакетов программ), правильным использованием численных методов. Результаты расчётов коррелируют с результатами разных вычислительных экспериментов других авторов.

основные положения, выносимые на защиту:

.Развитие пятифакторной модели Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия

.Новый оптимизационный подход к численной оценке рисков и значимости коэффициентов Бивера

.новые методы построения и алгоритмы принятия решений о возможности выдачи кредита предприятию, основанные на свертке критериев

.Обобщение модификации метода Ньютона с методом продолжения по параметру на задачи отыскания экстремума для класса сильно выпуклых функций

.Комплексы программ, реализующих результаты математического моделирования.

Апробация диссертационного исследования. основные положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на следующих конференциях: международной научной конференций «Экономика и менеджмент» (г. Паттайа, Бангкок, 2012 г.); международной научно-практической конференции «Экономическое развитие россии в условиях глобальной нестабильности: тенденции и перспективы» (г. Сочи, Краснодар, 2013 г.); международной конференции IV «Современные концепции научных исследований» (г. Москва, 2014 г.); конференции International Research Journal Conference VII ( г. Екатеринбург, 2015 г.).

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По теме диссертации опубликовано 17 научных трудах, в том числе 13 статьях из них 7 — в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК. 1 — в иностранном журнале с высоким импакт-фактором (на рецензии в журнале). Получены три (3) свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Глава 1. Литературный обзор математических методов, применяемых для оценки кредитоспособности предприятий

При анализе различного рода социально-экономических процессов широко используется методы математического моделирования [1], [39], [49], [45], [73].

При моделировании разных экономических процессов достаточно широко используются методы оптимизации [45], [35].

В данной главе проделан критический обзор существующих моделей (зарубежные и российские) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового состояния предприятий, показаны их достоинства и недостатки. Некоторые недостатки моделей можно устранить применением математического аппарата.

В данной главе также приведены основные теоретические понятия, которые используются в исследованиях поставленной проблемы. Приводимые понятия относятся к различным разделам прикладной математики и экономики, оптимизации, математического моделирования, численных методов, теории нейросетвых технологий, теории принятия решений.

1.1 анализ существующих моделей (зарубежных и российских) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий

На различных этапах жизненного цикла, предприятия часто сталкиваются с необходимостью финансирования своей деятель. Необходимость в финансировании связана с процессами их развития и инвестиционным финансированием. Поэтому они вынуждены обратиться к рынкам капитала и/или использованию банковского финансирования в краткосрочной, среднесрочной или долгосрочной перспективе. Однако большинство предприятий не имеют доступа к рынкам капитала. поэтому они вынуждены прибегать к кредитам и банковским услугам для финансирования своей деятельности. [104]

Выдача кредита предприятиям всегда несёт определённый риск для кредитующей организации (банка). поэтому кредитующей организации необходимо иметь полную информацию о степени своего риска, а также необходимо, оценить способность заёмщика вернуть полученные кредиты с представленными процентами. [40].

Оценка кредитоспособности может рассматриваться как одна из важных теоретических и практических научных проблем экономики. Она занимает важное место среди проблем математического моделирования «трудноформализуемых» объектов. термин «трудноформализуемый» объект, обычно, обозначает систему, взаимодействующую с человеком, где важен «человеческий фактор». Например, такие системы как социальные и экономические системы. Оценка кредитоспособности представляет собой комплексную проблему математического моделирования [85].

Чтобы уменьшить влияние «человеческий фактор» для оценки кредитоспособности предприятия, стремится использовать количественные, объективные оценки, дополненные качественными показателями или суждениями экспертов.

В научной литературе имеется ряд количественных методик, математических моделей диагностики вероятности наступления банкротства коммерческих организаций. Среди этого ряда существуют два основных подхода оценки кредитоспособности предприятия включая вероятности банкротства:

первый подход основан на финансовых данных и включает ключевые количественные показатели. такой подход представляет собой дискриминантные регрессионные модели.

второй относится к прогнозированию банкротства, основанный на статистических изменениях показателей обанкротившихся предприятий и сравнении с данными исследуемых компаний.

В этих основных подходах ключевым является выбор оптимально значимых финансовых показателей, обеспечивающих требуемую достоверность и надёжность оценки кредитоспособности [70].

С целью повышения достоверности надёжности оценки в последнее время многими учёными было разработано значительное количество различных математических моделей, дающих количественные оценки. среди учёных выделяются некоторые зарубежные, такие как: У. Бивер, Э.Альтман, Р. Таффлер, Д. Фулмер, Г. Тишоу, Ж. Коннан, М. Гольдер, Г. Дж. Ольсон, Стрингейт, Р. Лисс, А. Стрикленд и другие. [99], [93], [80], [81], [110], [114], [122]. В России ученые Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков адаптировали модель «Х-счет» Э. Альтмана к российским реалиям. О.П. Зайцева, Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков разработали новые модели для российских предприятий [33], [10].

В работах М.А. Федоровой [79], В.Е. Гаврилова, Л.Т. Гиляровской и А.А. Вехоревой [23], [24], В.В. Витрянского, С. Зинценко, Н. Лившица, В. Лопача, О. Никитина, Ю. свита и др. подробно рассматриваются основные критерии и методы оценки кредитоспособности и вероятности банкротства предприятий, а также анализируются количественные и качественные показатели, влияющие на финансовую устойчивость предприятий. [78], [20], [10], [23].

Основными значимыми зарубежными и российскими методами и моделями оценки кредитоспособности, финансового состояния и вероятности банкротства предприятий являются: модель R-счет [89], модели Альтмана [94], модель системы Бивера [99], модель Фулмера [110], метод скоринга Credit-Men Депаляна, модель Спрингейта, модель Z-счета Лисса [ : …], модель Тоффлера-Тисшоу [123], модель Чессера [101], Французская рейтинговая оценка кредитоспособности, метод оценки финансового состояния Ван Хорна, [97], модель Сайфуллина и Кадыкова [89], модель Зайцевой [33], модель учёных Иркутской экономической академии, методика оценки Савицкой [72], модель ученых московского университета печати, модели ученых Нижегородского национального исследовательского университета, векторная модель, и другие [40].

несмотря на наличие многочисленных моделей, существуют разные точки зрения на оптимальное использование количества показателей при оценке кредитоспособности. Например, существуют двухфакторная, четырехфакторная, пятифакторная, девятифакторная модели и т.д. При этом многие ученые согласны с тем, что можно выделить следующие основные модели оценки кредитоспособности предприятия: модель Альтмана, модель Бивера, рейтинговые модели, нейронные сети, оптимизационные модели, [99], [93], [94], [80].

Оптимизационные модели основываются на методах математического программирования, позволяющих уменьшить вероятность ошибки кредитующей организации при принятии решения о возможности выдачи кредита и максимизировать прибыль (ожидаемые доходы) с учетом различных ограничений при представлении кредита [70].

Модель Альтмана. американский ученый Эдварда Альтмана разработал впервые в 1968 г. Z-модель Альтмана [93], [94], [80]. Данная модель была предназначена для анализа крупнейших предприятий, акции которых котируются на бирже. Модель Альтмана является линейной функцией, зависящей от основных финансовых показателей предприятий.

Наибольшее распространение получил пятифакторный метод Альтмана (-модель), который, применительно к экономике Европы и США, имеет вид [93], [94]:

, (1.1)

где , , , , , , вычисляются на основе расчеты следующих показателей: — собственный оборотный капитал, — сумма активов, — нераспределенная Прибыль, — прибыль до уплаты процентов, — рыночная стоимость собственного капитала, — заемный Капитал и — объем продаж. Веса при коэффициентах рассчитывались с помощью множественного дискриминантного (MDA) анализа применительно к экономике Европы и США.

·При вероятность банкротства предприятия ,

·при ,

·при ,

·при видно что вероятность банкротства предприятия достаточно мала ( при ) и приблизительно стремится к нулю.

Модель Альтмана имеет ряд достоинств: простата применения при наличии малой информации; способность классифицировать предприятия на четыре класса: 1) «возможность банкротства высокая», 2) «возможность банкротства высокая», 3) «возможность банкротства небольшая» и 4) «возможность банкротства маленькая»; возможность сравнивать значимость показателей [54], [70].

Но при этом, её недостатки заключаются в том, что она не может применяться к любым предприятиям (применяется исключительно для крупных предприятий, чьи акции котируются на бирже). сопоставление данных, полученных для ряда стран, показывает, что веса в — свёртке и пороговый интервал сильно разнятся не только от страны к стране, но и от года к году в рамках одной страны [12].

Модели Альтмана не обладают устойчивостью к вариациям в исходных данных. Даже если предположить, что статистика, на которую опирается Альтман и его последователи, репрезентативна, то она, как минимум, не обладает важным свойством — статистической однородности выборки событий [54].

Результаты, полученные с её помощью, с трудностью интерпретируются её выводы не всегда надёжны [36], [75], потому что один из наиболее существенных недостатков метода Альтмана является дискретность вероятности банкротства p(z) от величины z и наличие промежутков между множествами Альтмана, в которых нет возможности точно количественно выразить вероятность. В данной работе предлагается усовершенствовать теорию Альтмана, путем привнесения в неё функции среднеквадратичного сглаживания и применение нечётких функций для более точного решения вопроса об отнесении предприятия к одной из 4 групп.

Модель Бивера. помимо формулы Э. Альтмана применяются другие методы анализа финансового состояния и рейтинговой оценки предприятий. Известный финансовый аналитик У. Бивер предложил систему показателей для оценки финансового состояния предприятия в целях диагностики банкротства [99]. Величину существующей возможности банкротства предприятия можно также приближенно оценить по пятифакторной модели Бивера, основанной на расчёте следующих показателей работы предприятия [99]: — чистая Прибыль, — амортизация производственных фондов, — заёмный Капитал, — оборотные активы, — краткосрочные обязательства перед юридическими и физическими лицами, — собственные оборотные средства, — внеоборотные активы. На основе значений показателей , вычисляются значения коэффициента Бивера — , коэффициента текущей ликвидности — , коэффициента рентабельности активов — , коэффициента финансовой зависимости — , коэффициента собственных оборотных средств в активах — .

Коэффициенты определённы У. Бивером для трех видов компаний: благополучных, обанкротившихся в течение года, ставших банкротами с течение пяти лет. На основе значений , делается вывод о возможности банкротства исследуемого данного предприятия. В модели Бивера не рассматриваются весовые коэффициенты, что не определяет значимости коэффициентов и не даёт возможность определить какой из них влияет в больше степени на возможное банкротство [100].

Для благополучных компаний (первая группа) , , , , ; для компаний за 5 лет до банкротства (вторая группа) , , , , ; для компаний за 1 год до банкротства (третья группа) , , , , [99].

Достоинством пятифакторной модели Бивера является использование наиболее значимых показателей активов предприятия и выявлении сроков наступления банкротства предприятия. Но при этом, она имеет следующие недостатки: отсутствие весовых коэффициентов, характеризующих значимости показателей Бивера, с трудностью интерпретируются её итоговые результаты при исследовании [70]. Портфель — это совокупность различных инвестиционных инструментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В данной работе портфель означает совокупность различных показателей. Под доходностью , мы понимаем линейную комбинацию параметров Бивера. Параметры Бивера меняются во времени.

Предположим, что являются случайными величинами во времени, имеющих среднее квадратичное отклонение . Сформируем «портфель» из коэффициентов . Пусть — вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в линейная комбинация параметров Бивера , «эффективность портфеля» , где , , .

До сих пор не отсутствуют работы, в которых рассматривался бы вопрос о значимости коэффициентов с помощью оценки при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля, был бы минимальным. Данная методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

таким образом, выявленные недостатки ставят вопрос о необходимости построения новых или усовершенствования существующих моделей оценки кредитоспособности с достаточной степенью достоверности на основе современных условий с простой интерпретацией и по мере возможности с меньшими недостатками. Многочисленные модели оценки кредитоспособности предприятий подтверждают важность разработки достоверной оценки финансового состояния исследуемого предприятия.

В связи с этим в данном диссертационном исследовании в дальнейшем необходимо усовершенствовать существующие математические модели оценки кредитоспособности и прогнозирования возможной вероятности банкротства предприятий для принятия решения о возможности выдачи кредита с помощью математического аппарата. Оценка кредитоспособности предприятия при анализе его финансового состояния и вероятности банкротства является актуальной, практически значимой и важной научной проблемой в современных условиях, главы 2-3 данной диссертации посвящены её решению.

1.2 Среднеквадратичное приближение

Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленом разных степеней.

Известно, что последовательность интерполяционных многочленов по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции, если даже функция бесконечно дифференцируема. Для приближаемой функций с помощью подходящего расположения узлов удаётся снизить степень полинома. [11]. структура функций Альтмана такова, что удобнее использовать приближение функции не с помощью интерполяции, а с построением наилучшего среднеквадратичного приближения в нормированном линейном пространстве. рассмотрим основные понятия и сведения при построении наилучшего приближения [11]. Задачи приближения и оптимизации ставятся в линейных нормированных пространствах.

1.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства

К наиболее широким понятиям математики относятся «множество» и «отображение». понятие «множество», «набор», «совокупность», «семейство», «система», «класс» в нестрогой теории множеств считаются синонимами.

Термин «оператор» тождествен термину «отображение». термины «операция», «функция», «функционал», «мера» — частные случаи понятия «отображение» [50].

Термины «структура», «пространство» при аксиоматическом построении математических теорий также приобрел в настоящее время основополагающую значимость. К математическим структурам принадлежат теоретико-множественные структуры (упорядоченные и частично упорядоченные множества); абстрактно-алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, тела, поля, алгебры, решетки); дифференциальные структуры (внешние дифференциальные формы, расслоенные пространства) [43], [37], [76], [91], [16], [17], [50].

Под структурой понимается конечный набор, состоящий из множеств носителя (основное множество), числового поля (вспомогательное множество) и отображение, заданных на элементах носителя и числах поля. Если в качестве носителя взято множество комплексных чисел, то оно играет роль и основного, и вспомогательного множества. Термин «структура» тождественен понятию «пространство» [50].

Чтобы задать пространство, необходимо прежде всего задать множество-носителя со своими элементами (точками), обозначаемых латинскими и греческими буквами

В качестве носителя могут выступать множества элементов действительных (или комплексных): чисел; векторов, ; Матриц, ; Последовательностей, ; Функций ;

В качестве элементов носителя могут выступать также множества: действительной оси, плоскости, трёхмерного (и многомерного) пространства, перестановки, движения; абстрактные множества.

Определение. Метрическое пространство есть структура, образующая тройку , где отображение есть неотрицательная действительная функция двух аргументов для любых x и y из M и удовлетворяющая трём аксиомам.

1— неотрицательность ; , при .

2- — симметричность;

3- — аксиома рефлексивности.

где — это расстояния между элементами .

В метрическом пространстве задаётся метрика и формируется понятие о близости двух элементов из множества носителя.

Определение. Действительное линейное (векторное) пространство есть структура , где отображение — аддитивная операция сложения элементов, принадлежащих , а отображение — операция умножения числа на элемент из .

Операция означает, что для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый через , причем выполняются следующие аксиомы.

— коммутативное свойство.

— ассоциативное свойство.

В существует особый элемент, обозначаемый через такой, что для любого выполняется .

для любого существует , такой, что .

Элемент называется противоположным к и обозначается через .

Операция означает, что для любого элемента и любого числа определен элемент , обозначаемый через и выполняется аксиомы:

, .

.

.

.

Элемент (точки) линейных пространства называется также векторами. Аксиомами 1 — 4 задаётся группа (аддитивная), называемая модулем и представляющая собой структуру .

Если операция в структуре не подчиняется никакими аксиомам, то такую структуру называют группоидом. Эта структура предельно бедна; в ней нет ни одной аксиоме ассоциативности, то структура называется моноидом (полугруппа).

В структуре с помощью отображения и аксиомами 1-8 задаётся свойство линейности.

Итак, линейное пространство является групповым модулем, в структуру которого добавлена еще одна операция — умножения элементов носителя на число с 4 аксиомами. Если вместо операции задать наряду с еще одну групповую операцию умножения элементов с 4 аксиомами и постулировать аксиому дистрибутивности, то возникает структуру , называемая полем.

Определение. Линейное нормированное пространство есть структура , в которой отображение удовлетворяет следующие аксиомами:

1. причем тогда и только тогда, когда .

2., .

3., .

И так в всего 11 аксиом.

например, если в структуру поля вещественных чисел , где — действительные числа, добавить модуль , , обладающий всеми тремя свойствами нормы, то поле вещественных чисел становится нормированным пространством

Распространены два способа введения нормы: либо путём явного задания интервального вида однородно-выпуклого функционала [17], [50], либо путём задания скалярного произведение [17], [50].

Пусть , тогда вид функционала можно задать бесчисленным количеством способов, меняя величину :

1., .

2., .

3.,

………………..

q..

…………….

∞. .

Второй распространенный способ приём задания состоит в том, что в структуру пространства вводится ещё одного отображение (функция двух аргументов, обычно обозначаемое через и называемое скалярным произведением).

Определение. Евклидово пространство есть структура в которой скалярное произведение содержит норму и удовлетворяет аксиомам:

1.;

2.;

3..

4., причём тогда и только тогда, когда

В евклидовом пространстве норма порождается формулой

.

Из свойств 1 — 4 скалярного произведения следует, что выполняются все аксиомы нормы. Если скалярное произведение в виде , то норма будет вычисляться по формуле

Норму пространства невозможно задать с помощью скалярного произведения [17], [50].

В пространствах со скалярным произведением появляются такие качества, которые отсутствуют в линейных нормированных пространствах (ортогональность элементов, равенство параллелограмма, теорема Пифагора, тожество Аполлония, неравенство Птолемея [76]. Введение скалярного произведения даёт способы более эффективного решения задач аппроксимации.

Определение. бесконечная последовательность элементов в линейном нормированном пространстве называется сходящейся по норме (просто сходящейся или имеющей предел в ), если существует такой элемент , что для любого найдется номер , зависящий от такой , что при выполняется

Определение. Последовательность элементов в называется фундаментальной, если для любого существует номер , зависящий от , что любого и выполняются (Треногин Колмогоров, Канторович , с 48)

Определение. Банаховым пространством называется такая структура, , в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме.

Определение. Гильбертовым пространством называется такая структура в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме, порождённой скалярным произведением.

1.2.2 Норма матриц

Линейные операторы в конечномерных пространствах представляют из себя конечной размерности матрицы. множество матриц определённого типа образуют носитель линейного пространства и при выборе нормы, становится линейным нормированным пространством.

Определение. Под нормой матрицы понимается действительное число , удовлетворяющее условиям:

а) , причем тогда и только тогда, когда ;

б) ( — число) и, в частности, ;

в) ;

г)

норма называется канонической, если дополнительно выполняются следующие условия:

д) если , то , причем для скалярной матрицы имеем |;

е) из неравенства (A и В — матрицы) следует неравенство

. В частности, .

В дальнейшем для матрицы произвольного типа рассматривают главным образом три легко вычисляемые нормы [26]:

1.(m-норма);

2.(l-норма);

3. (-норма).

.2.3 наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве

здесь представлена задача построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть является элементом линейного нормированного пространства . Необходимо найти наилучшее приближение этого элемента заданной линейной комбинацией независимых элементов [11]. Это означает что нужно найти элемент такой, что

(1.2)

Можно представить (1.2) следующим образом [11]:

.

Если существует такой элемент, то он является наилучшим приближением.

Теорема. Элемент наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве существует.

доказательство. Вследствие из неравенства треугольника (следствие соотношений)

Функция

является непрерывной функцией, зависящей от аргументов при любом . — евклидова норма . Функция непрерывна на и следовательно в некоторой её точке достигает свой нижней грани по сфере, причем , так как равенство противоречит линейной независимости элементов . Для любого справедлива оценка

.

Пусть . Функция непрерывна на шаре ; следовательно, в некоторой точке шара она достигает своей нижней грани . Вне этого шара выполняются отношения

.

Таким образом, вне этого шара

При всех возможных . Теорема доказана.

Элемент наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Пространство называется строго нормированным, если из условия

,

Следует , .

В случае строго нормированного линейного пространства элемент наилучшего приближения единственен.

В гильбертовом пространстве элемент наилучшего приближения существует и единствен, и задача его нахождения сводится к решению задачи системы линейных уравнений или решения оптимизационной задачи [11].

Для получения целевой функции реализуют минимум следующего выражения

Для нахождения точки минимума можно использовать оптимизационные методы или получить систему линейных уравнений. В точке минимума должны выполняться условия [11]. Имеем

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов , соответствующих элементу наилучшего приближения [11].

, (4)

Определение. Пусть функция ограничена снизу на множестве . Тогда число называют нижней гранью на , если 1) при всех ; 2) для любого сколь угодно малого числа найдётся точка , для которой . Если функция неограничена снизу на , то в качестве нижней грани на принимается . Нижнюю грань на обозначает через [37].

Если , то, очевидно, нижняя грань на совпадает с наименьшим значением этой переменой на , т.е. . Почеркнём, что всегда существует [37].

1.3 Выпуклые множества

Теория выпуклых множеств и выпуклых функций играет фундаментальную роль в теории и методах решения экстремальных задач.

Определение. Множество называется выпуклым, если для любых , и точка принадлежит при всех , . иначе говоря, множество и выпукло, если отрезок , соединяющий любые две точки , из , целиком лежит в . [18]

Все пространство , очевидно, образует выпуклое множество. Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, удобно считать выпуклыми. Тогда из определения 1.3. непосредственно следует, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. [18]

.4 Выпуклые функции

Рассмотрим основные понятия выпуклых функций, играющих важную роль в теории экстремальных задач.

1.4.1 Выпуклые функции одной переменной

Определение. Функция , определённая на отрезке , называется выпуклой на этом отрезке, если

при всех и всех , [18]

Когда пробегает отрезок , точки , на плоскости переменных пробегают хорду АВ, соединяющую точки и на графике функции . поэтому неравенство (1) имеет простой геометрический смысл: график выпуклой функции на любом отрезке , находится не выше хорды, соединяющей точки графика и . Примерами функций, выпуклых на любом отрезке, могут служить функции , , [18], [39]

1.4.2 Выпуклые функции многих переменных

Рассмотрим некоторые определения и свойства выпуклых функций многих переменных.

Определение. Функция , определённая на выпуклом множестве , называется выпуклой на этом множестве, если

(1.3)

при всех и всех , .

Определение. Если в (1.3) при равенство возможно только при и , то функция называется строго выпуклой на [18].

теорема. Пусть — выпуклое множество, а функция определена и выпукла на . Тогда всякая точка локального минимума одновременно является точкой глобального минимума на , причем множество выпукло.

Если строго выпукла на , то содержит не более одной точки минимума. [18].

Теорема. Пусть — выпуклое множество из , , пусть функция . Тогда для выпуклости на необходимо и достаточно, чтобы

(1.4)

При всех и всех [18].

Замечание. Условие (1.4) представляет собой условие не отрицательности квадратичной формы

на . Имеется следующий простой алгебраический критерий не отрицательности квадратичной формы [18] для того чтобы квадратичная форма при всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были неотрицательны. Напоминаем, что главными минорами матрицы называются всевозможные определители

где , [18].

1.4.3 Сильно выпуклые функции

Непрерывная выпуклая функция на выпуклом замкнутом множестве может не достигать своей нижней грани на этом множестве. Например, если , , , но при всех . однако можно выделить подкласс выпуклых функций, для которых подобная ситуация невозможна [18].

Определение. Функция , определённая на выпуклом множестве , называется сильно выпуклой на , если существует постоянная такая, что

при всех и всех , . Постоянную называют постоянной сильной выпуклости функции на множестве [18].

Замечание. Очевидно, сильно выпуклая на функция будет выпуклой и даже строго выпуклой на . Примером сильно выпуклой функции на всем пространстве может служить функция [18]

,

теорема. Пусть — выпуклое множество, . Тогда для сильной выпуклости на необходимо и достаточно существования константы такой, что

(1.5)

При всех и всех , принадлежащих под-пространству, параллельному аффинной оболочке множества (если , то (9) выполняется при всех ) [18].

В случае функции многих переменных при из условия (1.5) следует положительная определённость квадратичной формы на при всех . Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры

, ,

были положительны.

.5 метод Ньютона для оптимизации функций

Среди основных проблем вычислительной математики можно отметить задачи минимизации (максимизации) функций многих переменных (задачи оптимизации). Поиск минимума часто проводится при некоторых дополнительных ограничениях — условная оптимизация. Для численного решения таких задач используются итерационные методы [2], [18].

1.5.1 Метод Ньютона для нахождения экстремумов

Пусть — числовая ось, — некоторое множество из , — функция, определённая на множестве и принимающая во всех точках конечные значения. Примерами множеств из являются: отрезок , интервал , полуинтервалы , , где — заданные числа. Будем рассматривать задачу минимизации функции на множестве .

Определение 1. Точку называют точкой минимума функции на множестве , если для всех ; величину называют наименьшим или минимальным значением на и обозначают . множество всех точек минимума на будем обозначать через

В зависимости от свойств множества и функции множество может содержать одну, несколько или даже бесконечно много точек, а также возможны случая, когда пусто. В тех случаях, когда , естественным обобщением понятия наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции [18].

Определение. Последовательность называется минимизирующей для функции на множестве , если

.

теорема. Пусть — замкнутое ограниченное множество из , функция непрерывна на . Тогда ограничена снизу на , множество точек минимума на не пусто, замкнуто и любая минимизирующая Последовательность сходится к [18].

Определение. Точка называется точкой локального минимума функция на множество со значением , если существует число такое, что для всех . Если при некотором равенство для возможно только при называют точкой строго локального минимума.

Заметим, что верхняя грань и минимизировать последовательность всегда существуют, а минимальное значение может не существовать. Если выполнены условия теоремы 1, то , , и любая минимизирующая последовательность сходится .

В задачах минимизации также можно различать задачи двух типов: в задачах первого типа ищется величина , а в задачах второго типа и какая-либо точка , где , — выпуклое замкнутое множество из (например, ).

Пусть — некоторое начальное приближение. Если известно -е приближение , то приращение функции в точке можно представить в виде

(1.6)

Возьмём квадратичную часть этого приращения

, (1.7)

и определим вспомогательное приближение из условий=

,(1.8)

Следующее -е приближение будем искать в виде

, (1.9)

В зависимости от способа выбора величины в (4) можно получить различные варианты метода (1.7) — (1.9), называемого методом Ньютона. Укажем несколько наиболее употребительных способов выбора .

) В (1.9) можно принять

, (1.10)

В этом случае, как следует из (1.9), , , т.е. условие (1.8) сразу определяет следующее -е приближение. Иначе говоря,

, , (1.11)

В частности, когда , в точке минимума функции ее производная обращается в пуль, т.е.

(1.12)

Это значит, что на каждой итерации метода (1.7) — (1.10) или (1.11) нужно решать линейную алгебраическую систему уравнений (1.12) относительно неизвестной разности . Если матрица этой системы — невырожденная, то из (1.12) имеем

, (1.12)

широко известный метод Ньютона для решения системы уравнений

, ,

представляет собой итерационный процесс [18].

, (1.13)

Где — матрица, -я строка которой равна .

Теорема: Пусть — сильно выпукла на , и. кроме того

, , .(1.14)

Пусть начальное приближение выбрано таким, что

(1.15)

где — постоянная, а — некоторая константа . Тогда последовательности , определяемая условиями (1.12), существует, сходится к точке минимума на , причем справедлива оценка

, (1.16)

Как видно из оценки (14) и как показывает практика, метод Ньютона (1.12) сходится очень быстро. Однако у него есть существенный недостаток: для него сходимости начальная точка должна выбираться достаточно близкой к искомой точке . Это требование в теореме 1 выражено условием (1.15), означающим, что .

сравнение формул (1.12) и (1.13) показывает, что метод (1.12) решения задачи (1.6) в случае представляет собой известный метод Ньютона для решения уравнения (то есть равносильно решения системы линейного уравнения).

1.5.2 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона

Необходимые условия экстремума функции позволяет вместо экстремумов находить точки, в которых градиент функции равен нулю.

В [51] представлен способ выбора итерационного параметра в методе Ньютона, для расширения его области сходимости при решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах.

Пусть в некоторой области G конечномерного линейного нормированного пространства задана функция . Рассмотрим систему нелинейных уравнений

(1.17)

Пусть дано — такое, что множество принадлежит . Предположим, что уравнение (1.17) имеет единственное решение . Потребуем, чтобы в и в отображение f удовлетворяло следующим условиям для всех

а) ; б) в) г)

Отображения задаются формулами

здесь — класс дважды дифференцируемых функций, , — первая и вторая производные, — линейное нормированное пространство матриц, — билинейный оператор. В качестве нормы взята m-норма:

известно, что при сформулированных условиях a) — г) существует область , содержащая , с любой точки которой метод Ньютона

(1.18)

сходится к корню, однако диаметр области мал; достаточные условия сходимости процесса (1.18), сформулированные в «Основах вычислительной математики», Б.П. Демидович, И.А. Марон [26], позволяют выделить в общем случае область c еще меньшим диаметром diam diam diam D0, а сходимость итераций с произвольной точки не гарантируется.

Определим следующий итерационный процесс:

(1.19)

Теорема. Если выполняются условия а) — г), то процесс (1.19), (1.20) для системы (1.17) с любой точки x0 Î D0 за конечное число шагов j=l приводит к начальному приближению , начиная с которого процесс (1.19), (1.20) совпадает с методом Ньютона (1.18) и сходится к корню .

Доказательство. Пусть в точке хj, j=l, l=0,1,…, выполняется условие Все точки, для которых выполняется это условие, образуют множество, которое обозначим через и докажем, что учитывая условие из (1.20), получаем и формула (1.19) на шаге j = l совпадает с формулой (1.18). Убедимся, что Запишем формулу Тейлора

(1.21)

где

, .

В силу условия б) определения нормы — m и леммы 2 (Б.П. Демидович, И.А. Марон «основы вычислительной математики») [26], согласно которой

получим оценку, подставив выражение для в (1.21):

(1.22)

Так как , то имеет место , которое совместно с (1.22) приводит к соотношению mj+1 < mj < 1. Это означает, что . Из (1.6.6) также следует, что члены последовательности убывают быстрее, чем члены геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/4 и откуда . Последовательность {xj} фундаментальна:

поэтому . В силу непрерывности f(x) имеем Следовательно, есть корень. Так как , то совпадает с . Из произвольности точки следует, что .

Пусть теперь , j = 0. В силу (1.19) — (1.21) имеем

откуда вытекает оценка

Эта оценка показывает, что выполняется условие релаксации и поэтому все xj, j 0 принадлежат D0. Из оценки и условия г) следует, что последовательность убывает быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем

,

следовательно, при некотором значении j = l знаменатель в (1.20) станет меньше единицы, а это означает, что Теорема доказана.

1.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств кредитоспособности предприятия

С появлением компьютера и двоичной логики, учёные сосредоточили своё внимание на все, что является точным, строгим и количественным. Тем не менее, качество точности и строгости иногда неудобно. В таких случаях вместо того, чтобы обращаться с числами, машины должны восстановить человеческого знания: то есть моделировать человеческое мышление [128], [129]. Классическое программирование требует чётких и точных определений, положительных или отрицательных ответов, так как оно основано на схемах, подчиняющихся булевой логики и теории множеств. Но эти теории оказываются недостаточными, когда мы хотим применить к трудно формализуемым проблемам.

Многие авторы в области искусственного интеллекта и особенно разработчики экспертных систем понимают сегодня, что неопределённость является не маргинальным явлением: большая часть информации, содержащейся в базе знаний экспертной системы, является неточной, неполной и не совсем ненадежной [131]. Вот почему, Л.А. Заде [130] предлагает другой подход, основанной на возможности количественно оценить качественные понятия: теория нечётких множеств, появилась в 1965 году. На ней основывается нечёткая приобрела математическую формализацию.

Для изучения систем, на или эмоции человека (гуманистические системы) Л.А. Заде предложил использовать так называемые лингвистические переменные [32], т. е. переменные, значениями которых являются слова или предложения естественного языка. Процесс оценки вероятности банкротства предприятия может быть описан в терминах теории нечётких множеств с использованием лингвистических переменных [46].

Лингвистическая переменная есть конечный набор [44]:

,

Применительно к задаче оценки вероятности банкротства предприятия переменным может быть приписан следующий содержательный смысл: — название переменной (вероятность банкротства p); — множество значений (1.23) лингвистической переменной p.

множество значений возможности банкротства предприятия может быть, например, следующим:

(1.23)

при этом каждому имени соответствует нечёткое подмножество , определённое на универсальном множестве (), на котором задана переменная p; таким образом, каждому из четырёх элементов T ставится в соответствие подмножество . — синтаксическое правило, для образования имён новых значений переменной p («высокая», «не очень высокая», «слабая» степень достоверности суждения о вероятности банкротства); — семантическое правило, позволяющая преобразовать имя, образованное процедурой G, в нечёткую переменную (задаёт вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, детализирующих возможности банкротства предприятия.

Функция принадлежности — это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений — единичный интервал [34]. Чем больше значение, тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя нечёткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества где — вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью модели Альтмана. На этом носителе определим функции принадлежности: для значения — , — , — , — , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая — , третья — , а четвертая — , где — «возможность банкротства высокая», — «возможность банкротства средняя», — «возможность банкротства небольшая», — «возможность банкротства маленькая».

Существует различные типовые формы для описания функций принадлежности. Наибольшее используемые в литературе являются треугольной, трапецеидальной и гауссова функции принадлежности.

Треугольная форма функции принадлежности определяется наборов чисел , и ее

Для трапецеидальной формы функции принадлежности определяется набором :

Функция принадлежности гауссова типа определяется формулой

,

рисунок 1.1. Треугольная а) и трапецеидальная б) форма кусочно-линейные функции принадлежности.

где параметр c — центр нечёткого множества; — крутизна функции

Рисунок 1.2. Гауссова вид функция принадлежности.

В дальнейшем в данном диссертационном исследовании, в качестве формы функции принадлежности используется трапецеидальная.

Построение меры нечёткости имеет важные практические и теоретические основы [105]. Этому понятию посвящено значительно много научных работ [105], [106], [107], в некоторых, за исключением [126], рассмотрены различные варианты построения мер нечёткости, удовлетворяющие требованиям, которые введены авторами работы [105].

Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости , сводящаяся к измерению меры различия между нечётким множеством и чётким множеством [34]. Мера нечёткости множества определяется как расстояние от этого множества до множества, ближайшего к нему четко заданного множества : Чёткое подмножество , ближайшее к нечёткому с функцией принадлежности , называют подмножество , характеристическая функция которого имеет вид [44]:

В данной диссертационной работе рассматриваются класс кусочно-линейных непрерывных функций принадлежности нечётких множеств, т.е. значительно более простой класс, содержащийся в Q[0,1], а в случае чётких множеств, у функции принадлежности имеется не более двух конечных разрывов на концах множества. Поэтому можем определить расстояние между множествами по формуле:

Применение нечётких моделей в различных областях финансово-экономической деятельности (банкротств, оптимизация портфеля, оценка финансового состояния и др.) приобрело значительно обобщение в работах А.O. Недoсекина [56], [57], [58]. Он формулирует идею в работе [56.], в кoтoрoй указывает, что все экономические показатели измеряются не только количественноo нo и качественноo. Для измерения необходимо определить переменную «лингвистическую» — «Уровень показатели », носителем этой переменой является область определения показателя, а терм-множествo значений состоит из совокупности (набора) нечетких подмножеств от «очень низкий» Уровень до «очень высокий» показатели . Построение системы функций принадлежности носителя необходимo для оценки меры нечеткости показателей , соответствующих нечётким подмножествам. Самым простым способом задания является построение системы трапециевидных нечётких функций (рис. 1.б.).) Если предполагаемое неизвестно, тогда как исходные данные можно использовать так называемые трапециевидные функцией принадлежности имеющего следующего вида (рис. 1.б.)) [12]

Эти нечёткие числа моделируются следующим высказыванием: параметры приблизительно равны, а и однозначно находятся в интервале . В общем случае под нечеткими числами понимается нечеткое множество, имеющее выпуклую и нормальную функцию принадлежности.

необходимо подчеркнуть, что применение аппарата нечетких множеств довольно мало применялось при анализе и разработке определённых оценок кредитоспособности предприятия. В последнее время все больше мировых банков целью повышения эффективности экономической деятельностью пытаются организовать свои финансовые деятельности с помощью исследований современной области науки.

1.7 Математические модели искусственных нейронных сетей

появление теории искусственных нейронных сетей относится к 1940 г. к работам Уоррен McCulloch и Уолтер Питтс [116]. Под нейронными сетями подразумеваются вычислительные структуры, которые моделируют простые биологические процессы, ассоциируемые с процессами человеческого мозга. элементарным преобразователем в данных сетях является искусственный нейрон или просто нейрон, названный так по аналогии с биологическим нейроном. первое приложение на практике искусственных нейронных сетей возникло в конце 1950-х годов с работой Ф. Розенблатта, о персептроне (perceptron) [118].

НИИ были рассмотрены Arminger и Al, Desai и Al, Lee и Al (2002), West (2000), Khashman (2010), Цай и al (2009) и Oreski и al (2012 г.) в решении проблем кредитного скоринга [98], [108]. Большинство исследований показало, что нейронные сети являются более точными, гибкими и крепкими, чем классических статистических методов оценки кредитного риска (кредитоспособности) предприятия [117], [21], [22]. Как отмечают учёные [30], [48]: «области приложения нейрокомпьютинга и его приложений сильно пересекаются со сферами применения математической статистики, теории нечётких множеств и экспертных систем. Связи и параллели нейрокомпьютинга чрезвычайно многообразны и свидетельствуют о его универсальности. Многие исследования, касающиеся применения нейросетей в финансах и бизнесе, выявили их преимущества перед ранее разработанными статистическими методами». Эту же связь подтверждает Уоррен Серл [101], который составил словарь одинаковых терминологий, использующихся в этих двух разделах. вопросам сравнения двух видов анализа посвящены также работы Кристоффа и Пьера Кувре, Дж. Такера и др. [102]. Подробная типология методов экономического прогнозирования с использованием нейронных сетей и статистических методов рассматривается в работе Ханка Д.Э., Уичерна Д.У., РайтсаА.Дж. [109].

Математически, как показано на рис. 1.3 искусственный нейрон является вычислительным блоком, получающим ряд входных данных (информаций) непосредственно из окружающей среды или из предыдущих нейронов. Когда информация поступает из нейрона, то к ней присваивается вес , который представляет собой способность предыдущего нейрона воздействовать на следующий нейрон. каждый нейрон имеет один выход, разветвляющийся некоторым числом нейронов. Они расположены по слоям, и в диссертационном исследовании мы рассматриваем только трёхслойные нейронные сети [83].

С точки зрения математики, искусственный нейрон состоит из:

·Набора входных данных .

·Набора веса между нейронами.

Рисунок 1.3: Преставление одного нейрона.

·Функции суммирования ∑, которая вычисляет взвешенную сумму (то есть от веса) входных данных:

·Функции активации , которая вычисляет активности / состояния нейрона из этой суммы [83].

.7.1 Функции активации нейронной сети

Функция активации используется для построения результата взвешенной суммы входов нейрона в выходные значения, такое преобразование осуществляется расчётом состояния нейрона путем введения нелинейности в работу нейрона [103].

Существует несколько функций активации. Наиболее распространённая является сигмоидальная (логистическая) функция. В данном диссертационном исследовании используются сигмоидальные функции.

Функция нелинейная сигмоидальная. Нелинейная сигмоидальная функция часто используется в сети с помощью алгоритма обратного распространения [124]. В отличие от сигмоидальной функции, другие функции дают только двоичный выход, что делает его более трудным для оценки оптимальных весов. Сигмоидальная Функция имеет следующий вид:

,

где x — выходное значение сумматора нейрона, a — некоторая константа, которая определяет «крутизну» функций и выбирается разработчиком сети (на практике значение обычно полагают равным 1).

Рисунок 1.4. График нелинейной сигмоидальной Функции

1.7.2Архитектура (типы) нейронных сетей: многослойный персептрон

Архитектура-это очень важное понятие, которое играет важную роль в классификации РНК. В литературе мы часто используем слово «структура» как синоним архитектуры [115], [112]. каждая архитектура имеет свои собственные организации, которая, с учетом специфики каждого приложения [120], [111].

Архитектура многослойного персептрона представлена в рис. 1.5, где первый слой которого называется входным, последующие — внутренними или скрытыми, последний — выходным. Входной слой образован входными нейронами (input), которые получают данные и распространяют их на входы нейронов скрытого слоя сети (hidden Layer). Выходные нейроны (output Layer), которые образуют выходной слой сети, выдают результаты работы нейронной сети (output). Этот тип нейронных сетей довольно хорошо исследован и описан в научной литературе [74]. Он был предложен в работе Rumelhart, МсСlelland (1986) [119] и подробно обсуждается почти во всех учебниках по нейронным сетям. каждый элемент сети позволяет построить взвешенную сумму входных величин, пропускает её через передаточную функцию и отправляет полученное значение на выход. Все элементы организованы в послойную топологию с прямой передачей сигнала. Такую сеть можно интерпретировать как модель «вход — выход», в которой веса и пороговые значения (смещения) являются свободными параметрами модели.

Для определения конфигурации предлагаемой нейронной сети и минимизации вычислительных ошибок использован алгоритм обратного распространения (back propagation) [14], который предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума. Параметры конфигурации предлагаемой сети представлены в таблице 3.3.

рисунок 1.5. Архитектура трехслойного персептрона нейронной сети

1.7.3 алгоритм обратного распространения (back propagation)

Алгоритм обучения обратного распространения заключается, в первую очередь перенаправить вперёд входные данные до тех пор, пока вход вычисляется по сети, а второй этап — это сравнить рассчитанный выход с фактическим выходом [119].

Веса модифицируются так, чтобы в следующей итерации, ошибка минимизирована между вычисленной выходной величиной и фактическим выходом. процесс повторяется до тех пор, пока полученная ошибка являлась не незначительными (не существенным).

С точки зрения математически, можно иллюстрировать алгоритм обучения обратного распространения следующим образом:

Пусть имеется n набор входных данных со следующими желаемыми выходами и выходами сети .

Тогда сумма вход n-ого угла к j-ому слою равна:

,

Тогда выход этого угла будет:

,

где — связи между k-им нейроном j-1-ого слоя и i-им нейроном j-ого слоя.

— входная сумма к -го нейрона для р-го наблюдения j-го слоя.

— фиктивный вес к -го нейрона j-го слоя.

Тогда можно представит общую допустимую ошибку во всех улов, следующую формулу:

,

Где — допустимая ошибка k-го выходного узла.

Для того, чтобы минимизировать , предполагается вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Обновление весов выходного слоя описывается с помощью следующих уравнений:

,

,

,

,

,

Таким образом, обновление весов могут быть описаны как следующие уравнения:

,

.

При использовании нейронных сетей возникают некоторые трудности. Большинство из исследований в этой области посвящено классификации или прогнозу с наличием достаточно больших статистических наборов данных [14]. Нейронные сети являются новым надёжным инструментом по работе кредитования предприятия. Поэтому в диссертационной работе, мы рассматриваем упрощенный метод прогноза значения коэффициентов Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия с помощью алгоритма обратного функционирования нейронной сети. Приведенные результаты вычислительных экспериментов сетей (см. гл. 3), подтверждают хорошее согласие результатов, полученных с помощью модели Бивера и указывают наиболее значимые коэффициенты в этой модели.

1.8 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита

.8.1 задачи однокритериальной оптимизации

В настоящее время в научной литературе существует много научных систем, в частности из области экономической деятель, моделируя которые приходится к различным формам задач математической оптимизации. рассмотрим сначала задачу однокритериальной задачи оптимизации принятия решения. подобная задача имеет следующий вид [53]:

, , (1.24)

где представляет собой допустимое множество, на котором целевая функция максимизирует либо минимизируется от значения .

Определение. элемент называется решением скалярной задачи оптимизации (1.24), если для всех [71].

таким образом принять решение сводится к решению некоторой задачи, то есть найти экстремум целевой функции, при некоторых ограничениях. Методы математической статистики и теории вероятностей и помогают принимать решения в условиях неопределённости. ЛПР должен опираться на математическую теорию принятия решений, позволяющую оценить риск возможных потерь или оптимизировать возможный выигрыш (получаемый Доход). Таким образом, можно формулировать такую задачу оптимизации

,

со следующими ограничениями

, ,

, .

В частном случае, если все перечисленные функции — линейны, то задача представляет собой задачу линейного программирования [18].

Для решения такой однокритериальной задачи существуют целые ряди методов, предназначенных также для проблемы (задачи) математического программирования.

.8.2 задачи многокритериальной оптимизации

Пусть рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида: функция , , определены на , . — -мерное вещественное пространство, и отражают соответственно в . Требуется найти

, (1)(1.25)

Существует ряд наборов методов решения задачи многокритериальной оптимизации. Такие как: метод отбора, метод прямоугольников, метод скаляризации, метод главного критерия, метод уступок, метод последовательной оптимизации, метод линейной свертки, метод по Парето и Слейтеру и т.д [52].

В данном диссертационной работе используется самый распространённый метод, то есть метод свертки критериев, а именно метод линейной свертки. Он часто встречается в научных литературах как самый простой и используемый способ сведения многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной, позволяющий заменить векторный критерий оптимальности на скалярный . Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов в один [90]:

.(1.26)

Весовые коэффициенты , могут при этом рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов . Чем большее должен давать и, следовательно, тем большее значение должно быть выбрано.

Однако при рассмотрении существенно различных характерных частных критериев экспертам иногда сложно указать этих коэффициентов . Связи с этим, рассматриваем в дальнейшем методику выбора , на следующих соображениях [27].

Предположим, что критерии из (1.25) не ранжированы в начале. Пусть точки , ,…, заданы. Вычислим значения , , и построим функцию линейной комбинации , , в которой , , предлагается выбирать (приближенно) путем решения следующей задачи квадратичного программирования [27]:

;(1.27)

; (1.28)

, . (1.29)

Для решения этой задачи численным методом можно использовать различные технические инструментальные аппараты, например, приложения Microsolf Excel.

предположим, что на этот раз критерии представлены в (1.25), , , ранжированы следующим образом:

, (1.29)

где , , означает что, не менее предпочтителен, чем . Однако уровень предпочтительности, по отношению к неизвестна (не указана). В данном случае согласно (1.30), очевидно, , , должны удовлетворять, кроме (1.28), (1.29), дополнительному условию

. (1.31)

Таким образом решение данной многокритериальной задачи (1.26) можно привести, не прибегая к помощи специализированных экспертов, к решению одной из следующего набора задач: (1.27) — (1.29), (1.31), (1.30) или (1.27) — (1.29), (1.30) [27].

В практике кредитования встречается такая многокритериальная задача, основанная на модели Бивера. Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему . На момент выдачи кредита оно может принадлежать одной из трёх групп: группа 1 — благополучное финансовое состояние предприятия, группа 2 — финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа 3 — «за год до банкротства». Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трёх групп 1, 2, 3 определяется с помощью показателей Бивера , : к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трёх показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе [31], [99].

Процедура оценки основывается на допущении Бивера, что если не меньше 3 из возможных 5 коэффициентов относятся к группе j, то это даёт основание отнести предприятие к группе j. Сама процедура Бивера принимает решение на данных одного года. чтобы увеличить степень надёжности принятия решения, предлагается новая усовершенствованная количественная процедура. Не на данных одного года, а основанная на данных предприятия за несколько n предшествующих лет. Предлагается способ вычисления матрицы вероятности принадлежности к одной из трёх групп коэффициентов Бивер за n лет.

В диссертации предлагается усовершенствовать существующую модель с помощью состояние системы показателей оценивать следующим образом, где и имеется всего 48 состояний

В основе теории принятия решений полагается, что ЛПР рассматривает множество допускаемых решений, исходя из некоторых состояний среды, которая определяется этими состояниями полностью [52]. Однако в литературе отсутствуют методы принятие решений

Выводы к первой главе

В данной главе проанализировано существующие модели (зарубежных и российских) оценки важной проблемы (кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий). Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствовать с использованием математических методов. Описаны основные понятия необходимые для разработки математического аппарата для качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятия и принятия решения о возможности выдачи кредита.

. Отмечено, что результаты, полученные с помощью метода Альтмана с трудностью интерпретируются её выводы не всегда надёжны, потому что один из наиболее существенных недостатков метода Альтмана является дискретность вероятности банкротства p(z) от величины z и наличие промежутков между множествами Альтмана, в которых нет возможности точно количественно выразить вероятность. В данной работе предлагается усовершенствовать теорию Альтмана, путем привнесения в неё функции среднеквадратичного сглаживания и применение нечётких функций для более точного решения вопроса об отнесении предприятия к одной из 4 групп.

. До сих пор отсутствуют работы по применению теории Бивера, в которых рассматривался бы вопрос о значимости коэффициентов с помощью оценки при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля, был бы минимальным. Данная методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

. В литературе известен метод выбора итерационного параметра для расширения сходимости метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в нормированных пространствах. Необходимые условия экстремума позволяют расширить данный метод на минимизацию сильно выпуклых функций

. Дано изложение и даны определения существующих понятий пространств на основе фундаментального понятия — структура, ведённая Бурбаки Н. Это позволяет более четко видеть иерархию существующих пространств: метрического, линейного, линейного нормированного, евклидового, Гильбертова, Банахова и применять оптимальные численные методы в подходящей структуре.

. Рассмотрено определение искусственных нейронных сетей и архитектура многослойного персептрона. Описан процесс функционирование алгоритма обратного функционирования нейронной, которого предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Оценка кредитоспособности, включая принятие решения предприятию о возможности выдачи кредита, являются в современных условиях актуальной научной и важной практической проблемой кредитующей организации, решению которой посвящены главы 2-3 диссертационного исследования.

Глава 2. Разработка математических моделей оценки кредитоспособности предприятий на основе модели Альтмана

В данной главе предложена модель, использующая аппарат теории нечётких множеств совместно с пятифакторной моделью Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия. Модель Альтмана усовершенствована в двух отношениях: применяется среднеквадратичное интегральное приближение для точного вычисления количественной оценки кредитоспособности (вероятности банкротства) и применения аппарата нечётких множеств для упорядочения множеств по степени доверия полученной вероятности. Проведено имитационное моделирование процедуры оценки кредитоспособности и показаны возможности предложенной модели. Приведены несколько реальных примеров применения методики. Модель носит теоретический характер, выводы сделаны в рамках разработанной математической модели.

Методика определения значимости показателей и рисов при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля приведена в данной главе с помощью моделей математической оптимизации.

Для поиска экстремумов возникающих функционалов применялись разные методы: методы математических пакетов, методы штрафных функций в сочетании с градиентными методами и модифицированным методом Ньютона. В тестовых примерах использовались также и аналитические методы для отладки численных методов.

2.1. Аппарат нечётких множеств, имитационного моделирования, и среднеквадратичное интегральное приближение как инструменты оценки кредитоспособности предприятия, порождаемых различными моделями (пятифакторной моделью Альтмана)

Теория нечётких множеств и имитационное моделирование зарекомендовались себя на практике при анализе рисков банкротства и разработке методики оценки кредитоспособности предприятий. Эффективный процесс оценки кредитоспособности предприятия позволяет, с одной стороны, снизить уровень кредитных рисков банка, а с другой, создать более необходимые условия для качественного обслуживания клиентов банка, предъявляющих спрос на кредитные продукты. В последнее время все большую популярность среди математических подходов, для воспроизведения исследуемых процессов или явлений приобретает имитационное моделирование [86], которое поможет не только достоверно оценить кредитоспособность предприятия-заемщика, но и дать обоснование наиболее рационального решения (ЛПР). Для иллюстраций в дальнейшем этого параграфа, мы оперируем на пятифакторную модель Альтмана (- модель).

На основе разработанной модели, предложенной для решения поставленной задачи, могут быть построены другие методики оценки кредитоспособности предприятия, использующие результаты теории нечетких множеств и имитационных моделирований и основанные на хорошо зарекомендовавших себя в прикладные исследования методиках.

Наибольшее распространение получила пятифакторная модель Альтмана (-модель), позволяющая оценить возможность банкротства предприятия, которая, применительно к экономике США, имеет вид [93], [94]:

,(2.1)

где — отношение собственного оборотного капитала к сумме активов, — отношение нераспределенной прибыли к сумме активов, — отношение прибыли до уплаты процентов к сумме активов, — отношение рыночной стоимости собственного капитала к заемному капиталу, — отношение объема продаж к сумме активов. Веса при коэффициентах , рассчитывались на основе множественного дискриминантного анализа (MDA-анализ) применительно к экономике США.

применения модели Альтмана к российской экономике существуют, как пример можно упоминать проведённые исследования в работе [67]. Они подтвердили успешные приемлемости использования этой модели в российских условиях оценки кредитоспособности отраслевых предприятий. Ученые из ряда стран, проверяющие применение на практике модель, подтверждают ее надежность универсальность, адаптируя весовые коэффициенты в модели для своих стран и отраслей. Для более успешного применения данной модели в некоторых стран в том числе Мали, в общем смысла, необходимо корректировать весовые коэффициенты с учетом реальности экономики этих стран [40] [31].

Модель Альтмана вводит функцию p(z), которая равна вероятности банкротства. вероятность банкротства рассчитывается согласно эмпирически установленной зависимости

,(2.2)

Согласно (2.2) при вероятность банкротства предприятия достаточно мала ( при ) и считается приблизительно равной нулю. При дальнейшем изложении проблемы примем . На рис.2.1 представлен график функции p(z) модели Альтмана (2.1). Определим две функции , .

после этого решим задачу интегрального среднеквадратичного приближения [5] множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n -й степени, представленной следующим образом [5]:

(2.3)

на отрезке . Коэффициенты находились из минимизационной задачи в n — мерном пространстве Rn коэффициентов полинома,

(2.4а)

где , , при некоторых дополнительных естественных ограничениях

, , (2.4.б)

смысл которых будет ясен из постановки задачи в пункте 2.1.1.

2.1.1 Задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n-й степени

Рассмотрим непрерывный аналог модели Альтмана, усовершенствованный методом среднеквадратичного приближения (2.3) в функциональном пространстве L2 интегрируемых с квадратом функций и сравним результаты применения полиномов разных степеней [5].

a.Полином третьей (3-й) степени

В трехмерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

,(2.5)

С помощью специальной разработанной программы в математическом пакете MATHCAD коэффициенты полинома (2.5) находились из минимизационной задачи в трехмерном пространстве

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях, диктуемых видом функций Альтмана

, ,

, ,

,.

У отрезка, на котором производится аппроксимация, правая крайняя точка выбрана . Выбор этой точки до некоторой степени произволен, однако прямые l1, l2 ограничивающие область, в которой содержатся прямоугольники, пересекаются на оси z в одной точке с координатой . Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD и разработанной программы минимизации рис.2.1 а).

b.Полином пятой (5-й) степени

В шестимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.6)

Рис. 2.1.a) График функций , и полинома .

Из минимизационной задачи в шестимерном пространстве R6 находятся коэффициенты полинома (2.6)

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD , рис.2.1. b).

рисунок 2.1.б) График функций , и полинома

c.Полином шестой (6-й) степени

Полином, представлен в (2.3) в семимерном пространстве будет иметь следующий вид:

, (2.7)

Решение задачи (2.7) для нахождения коэффициентов полинома производится с помощью её минимизации в .

Минимизируемая функция:

,

при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Решение:

рис.2.1c).

рисунок 2.1.в) График функций , и полинома .

d.Полином седьмой (7-й) степени

Полином (2.3) в восьмимерном пространстве имеет следующий вид:

,(2.8)

Решая задачу (2.1.8) с применением минимизационной задачи с помощью математического макета MathCAD, находятся коэффициенты

в .

где , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

, .

Получили решение

, рис.2.1d).

e.Полином девятой (9-й) степени

В десятимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.9)

Рисунок 2.1.г) График функций , и полинома .

Коэффициенты полинома (2.9) находились из минимизационной задачи в девятимерном пространстве коэффициентов полинома

,

где , , при дополнительных ограничениях. При больших степенях полиномов, можно задать большее количество конкретных условий, для более точной аппроксимации. например, зададим условия прохождения аппроксимационного полинома через центры прямоугольников.

, ;

, z1=1;

, z2=2.4;

, z3=2.9;

, z4=3.5;

, z4=3.5.

Получено решение на рис.2.1 е)

рисунок 2.1.д) График функций , и полинома .

Из рис.2.1 видно, что полиномы при n=6 и n=7 пересекают все четыре области. В случае малых или больших n имеются некоторые особенности: n=3 в виде недостаточной гладкости, кривая не отслеживает особенностей функций Альтмана; n=5 имеется максимум и при некоторых различных z имеются одинаковые значения p; n=9 получается результаты не лучше, чем при n=6.

Показано, что наиболее благоприятным значением степени полинома является n = 6 или 7. Более низкие степени имеют малые значения второй производной и поэтому недостаточно гладко располагаются на координатной системе с функциями f1(x) и f2(x). Более высокие — дают меньшие значения целевой функции, но происходит это за счёт того, что концевые области отрезка плохо аппроксимируются. Вопрос о точном выборе степени полинома остаётся проблемой противоречивой, хотя можно уже сказать, что эта проблема не носит принципиального характера, так как вне зависимости от степени полинома (если она достаточно высока) результаты будут близкими. Но требование фундаментальной, теоретически точной оценки в условиях противоречивых требований, нуждается ещё в дополнительных исследований.

Рис.2.2. График зависимости значения функционала от степени полинома с указанными в тексте ограничениями.

Из рис. 2.2. видно, что значения оптимизационного функционала образуют, в пределах численной погрешности, сходящуюся убывающую последовательность от степени полинома, поэтому, как только скорость сходимости становится малой, то дальнейшее повышение степени полинома становится бессмысленным т.е. с n=4 значения функционала практически не меняется. С другой стороны, из рис. 2.1 видно, что сам полином будет монотонной функцией и его значения не выходят из пределов [0, 1] только начиная с n=6. Поэтому в модели выбрано В модели (2.1) параметры ki и вычисляемый по ним параметр z не могут быть измерены точно. Следовательно, модель (2.1) порождает нечёткие множества, которым принадлежат значения величины p, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия. Модель Альтмана, позволяет в первом приближении разделить предприятия на четыре класса с вероятностью банкротства , . — «вероятность банкротства велика», — «вероятность банкротства средняя», — «вероятность банкротства не велика», — предприятия «вероятность банкротства маленькая». В рассматриваемом примере .

Для нечётких множеств задаётся функция принадлежности , (рассмотренная ниже в пункте 2.1.2).

Если величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применение L6(z) попадает в одно из множеств , то случае, вероятности банкротства приписывается полученное значение . Если , то .

рисунок 2.3. Значения функции принадлежности при .

множества заданы своими функциями распределения четко.

Построением функции L6(z) достигается возможность получить однако в таких случаях возникает необходимость отнести получаемое чего и предлагается воспользоваться теорией нечётких множеств, строя наиболее простые кусочно-линейные непрерывные функция принадлежности [44]. Когда величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применением L6(z) не попадает ни в одно из множеств , то пункте 2.1.3) методики с помощью аппарата нечётких множеств. В настоящее время нечеткие множества активно используются на практике при анализе рисков банкротства предприятий [44].

2.1.2 Функция принадлежности

Функция принадлежности — это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений — единичный интервал [34]. Чем больше значение , тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя нечеткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества Ai где — вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью уравнения (2.1). На этом носителе определим функции принадлежности: для значения — , — , — , — , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая — , третья — , а четвертая — , где — «возможность банкротства высокая», — «возможность банкротства средняя», — «возможность банкротства небольшая», — «возможность банкротства маленькая».

Вычисления значения z по модели Альтмана (2.1) и вычисления p по формуле L6(z) не всегда даёт возможность отнести вычисленное значение p в одно из множеств Ai, то есть к одному из случаев , , , . например, если , то p можно отнести и к множеству A1 , и к множеству A2.

В этой связи, вводим нечёткие множества которые задаются функциями предпочтения , позволяющая определить меру нечеткости множества , в данном случае, меру нечёткости вычисленной вероятности .

Функции принадлежности подмножеств , , , имеют вид:

(2.10)

Тогда, сами множества запишем с помощью традиционных для теории множеств обозначений (используется знак интеграла) [44]:

Рисунок 2.4. Графики функций принадлежности нечётких подмножеств а) -, б) -, в) — , г).-, отвечающих множествам Альтмана (рисунок 2.3).

Если все графики a) — г) изобразить на в одной системе координат, то абсциссы точек пересечения функции и , будут равны , , и они отвечают определению (2.11) ближайших четких множеств (см. п.2.1.5).

2.1.3 Меры нечёткости множеств

после вычисления z, p(z), выбора и вычисления меры принадлежности оценим множества с точки зрения степени нечёткости, то есть введём полное упорядочение множеств по степени их нечёткости. Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости , сводящаяся к измерению меры различия между нечётким множеством и чётким множеством [34], [44]. Мера нечёткости множества определяется как расстояние от этого множества до множества, ближайшего к нему четко заданного множества : Чёткое подмножество , ближайшее к нечёткому с функцией принадлежности , называют подмножество , характеристическая функция которого имеет вид:

(2.11)

С помощью полученных чётких множеств :; ; , строится, функция принятия решения .

Функция принятия решения — зависимость индекса I = {1,2,3,4} указывающего на четкое ближайшее подмножество множества , в зависимости от полученной вероятности с применением многочлена . Она имеет вид, показанный на рисунке 2.5. Функции принятия решения однозначно указывает на одно из чётких подмножеств и, следовательно, порождающее его нечёткое множество . Она также однозначно определяет множество Альтмана Ai так как . Зная p и функцию-меру для вычисляется числовое значение (которое очевидно примет значения ) принадлежности (нечёткости) величины p , соответствующему нечёткому множеству .

Чёткие подмножества , , , ближайшие соответственно к нечётко заданным , , и , будут иметь вид:

Рисунок 2.5. Функция принятия решения: a) аналитический вид функции принятия решения ; б) график функции принятия решения на четких множествах.

Функция принятия решения с полиномом решения получает ясный экономический смысл: величина p указывает на вероятность банкротства и, следовательно, финансовое состояние исследуемого предприятия. Числовое значение индекса I(p) позволяет узнать по какой из формул (рисунок 2.5) вычислить числовое значение меры , которое показывает, с какой мерой доверия величина p принадлежит к соответствующему множеству Альтмана Ai (рисунок 2.3 и 2.4).

Чёткие множества позволяют упорядочить по степени нечёткости и получить дополнительный критерий доверия к получаемым о финансовой состоятельности предприятия.

В пространстве Q[0,1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить расстояние между множествами и , как среднеквадратичное расстояние между функциями принадлежности [43], [34], [44]. В данной диссертационной работе рассматриваются класс кусочно-линейных непрерывных функций принадлежности нечётких множеств, т.е. значительно более простой класс, содержащийся в Q[0,1], а в случае чётких множеств, у функции принадлежности имеется не более двух конечных разрывов на концах множества. Поэтому можем определить расстояние между множествами по формуле

.

Найдём меры нечёткости определённых выше подмножеств , , , , вычисляя меры нечеткости по метрике Евклида:

.

Из этих вычислений следует, что подмножество является более нечётким по сравнению с подмножествами , и . совершенно аналогично: — более нечетко задано по сравнению с и .; множество — более нечетко задано по сравнению с .

Пусть означает, что более нечетко задано, чем . Тогда ,, можно по признаку нечёткости, упорядочить следующим образом: . Чем правее множество, в ряду тем достовернее суждение о вероятности банкротства, к нему относящееся. следовательно, из всей совокупности наиболее нечётко заданным является — «возможность банкротства средняя», а наиболее чётко задано — «возможность банкротства мала». Это означает, что доверие к суждению о возможном банкротстве предприятия увеличивается слева направо в ряду .

2.1.4 Примеры использования модели

рассмотрим конкретный пример применения модели Альтмана с применением разработанных полиномов n-й степени , , как метода оценки вероятности банкротства при оценке кредитоспособности.

Пример 2.1.. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за 2010-й г., вычислим значения коэффициентов ki и величины -Альтмана (2.1) с применением разработанных n-й полиномов степени , (см. таб. 2.1).

Таблица 2.1. значения показателей — Альтмана, полинома и функции принадлежности ОАО «Ленмолоко»

2010 г.zФункции полинома и функции принадлежности множество 2.46=0.423I(p=L3)=2=0.373I(p=L5)=2=0.385I(p=L6)=2=0.406I(p=L7)=2=0.405I(p=L9)=2

С применением среднеквадратического приближения полинома й степени , , полученные результаты показывают, что именно расчеты полинома 6 или 7 степени достаточно хорошо аппроксимируют функцию Альтмана без излишних условий налагаемых на аппроксимирующую функцию Ln(z). Аппроксимирующие полиномы степени меньшей пяти не дают возможности однозначно оценить область, в которую попадают значения вероятности p при различных z.

Пример 2.2. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Концерн Росэнергоатом» за три года (2009 — 2011 и 2013 гг.) [64], вычислим значения коэффициентов ki и величины -Альтмана (1) (см. таб. 2.2).

Таблица 2.2. значения показателей — Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Концерн Росэнергоатом»

Показатели zвероятность банкротства2009 г.0.100.050.055.830.314.18 2010 г.0,110.120.0410.590.287.06 2011 г.0.060.110.005.280.213.62 ———2013 г.0.070.160.015.770.193.99

Из таблицы видно, что из трех лет (2009 — 2011 г.), исследуемое предприятие относится только к (возможность банкротства маленькая). В ряду наиболее четко заданным является именно — «возможность банкротства маленькая», поэтому малость величины p вероятности банкротства с наибольшей возможной, в рамках данной модели, достоверностью. Это означает что, что предприятию не грозило банкротство и прогноз его кредитоспособности надёжен с максимально возможной степенью надёжности.

Пример 2.3: Рассчитаем различные коэффициенты Альтмана при использовании статистических бухгалтерского баланса данных предприятия ОАО «Теплосеть» [66] за три года (2009 — 2011 г.). Полученные результаты представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. значения показателей — Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Теплосеть»

показатели zвероятность банкротства2009г.2.600.100.070.382.604.32 2010г.1.600.110.100.351.603.19 2011г.0.900.850.600.330.905.03 ———2013 г.0.660.140.160.772.244.22

За весь период рассмотрения (то есть 2009 — 2011 и 2013 гг.) множеству (возможность банкротства маленькая), следовательно, мера нечеткости относящейся к этому же подмножеству по разработанной модели наименее нечетко задано по сравнению с другими и данное суждение наиболее достоверно (), как и в предыдущем случае.

Пример 2.4. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Ленмолоко» [63] за три года (2009 — 2011 г.), вычислим значения коэффициентов ki и величины — Альтмана (1) (см. таб. 2.4).

Таблица 2.4. значения показателей — Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Ленмолоко»

показатели zвероятность банкротства2009 г.0.010.040.071.420.962.122010 г.0.230.100.150.821.042.462011 г.0.730.210.382.402.316.16

Из таблицы видно, что из трех лет, исследуемое предприятие два раза относится к (возможность банкротства средняя) и один раз к (возможность банкротства маленькая), причём первые два вывода за 2009 и 2010 г. заслуживают меньшего доверия, чем последний третий случай, относящийся к 2011г., так как располагаются слева в упорядоченном ряду , тогда как множество является наиболее чётким. Можно сделать вывод о том, что проделанные расчёты показали, что предприятию не грозит банкротство, причем и в данном случае с достаточной степенью достоверности. К сожалению сведения о предприятии за последующие года отсутствуют.

2.1.5 Имитационное моделирование

В модели исходные параметры , образуют входы системы (входные переменные), позволяющие получить значение параметра z-Альтмана. Система может переходить из одного состояния в другое под действием случайных входных переменных . Величина z будет случайной, так как зависит от случайных показателей . Величины задаются случайным образом в пакета MathCAD. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью модели Альтмана, аппроксимирующей функции L6, функции принятия решения I(p) и алгоритма вычисления предпочтения m получаем номер множества i, того которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости

Имитационное моделирование позволяет имитировать во времени различные ситуации как для одного испытания, так и заданного их количества. Результаты испытаний будут определяться случайным имитационным характером выбора входных параметров. По выбранным имитационным параметрам можно получить устойчивую статистику. Модель Альтмана с применением вычислительной функции позволяет действительные реальные значения входных параметров предприятий заменить на случайные значения имитационной модели.

рисунок 2.5. Схема последовательности вычислений при оценки кредитоспособности предприятия. По входным исходным данным ki последовательно находятся z, p, i, m для упорядоченных множеств .

Разыгрывалась имитация случайной величины z, которая отвечает некоторому набору случайных величин . Параметр z задавался случайным образом с применением функции порождающей случайно равномерно распределённую величину на отрезке [0, 3,5] области определения функции . Каждому входному значению случайного скаляра находилась вероятность и с помощью функции принадлежности I(p) находился индекс и следовательно множество к которому принадлежит предприятие, причем вычисляется мера принадлежности отнесения предприятия к полученному множеству в системе упорядоченных по степени нечёткости (доверия) .

Пример 2.5. Пусть генерируются случайные входные переменные с помощью функции random. например, конкретная единичная реализация случайной равномерно распределённой величины на промежутке [0, 3.5] оказалась равной . С помощью модели Альтмана и аппроксимирующей функции получим . На основе полученного значения данной функции, выбирается индекс i с помощью функция принятия решения . Функция принятия решения позволяет выбрать в данном случае индекс , отвечающий множеству то есть рассматриваемый случай относится к (возможность банкротства средняя). Мера предпочтения множества занимает в упорядочении множеств первое место справа, причем вычисляется доверительная мера принадлежности отнесения предприятия к полученному множеству в системе упорядоченных по степени нечёткости.

Было проведено m = 1-1000 имитаций случайной величины z, результаты работы модели, приведены в табл. 2.5 ниже. Во второй колонке даны математические ожидания, в третьей — среднеквадратичные уклонения величин z, p, i, m.

Таблица 2.5. Математические ожидания и среднеквадратичное уклонение величин z, p, i, m.

Mz1.7411.025p0.5990.33i1.8151.071m0.910.147

На рис.2.6-9 представлены результаты имитационного моделирования разных величин:

Рисунок 2.6. Имитационная реализация случайного процесса z(m).

На рисунке 2.6, видно, что случайные величины z находятся в интервале .

рисунок 2.7. Имитационная реализация случайного процесса р(m).

рисунок 2.8. Имитационная реализация случайного процесса i(m) номера нечёткого множества.

Рисунок 2.9. Имитационная реализация случайного процесса m (m).

Имитированные случайные значений z не достигают достоверного p=1 значение рис.2.7, из за свойств функции у которой . Что касается рисунка 2.8, то математическое ожидание равно , в силу асимметричных свойств функции выбора и с достаточно большим среднеквадратичным уклонением s = 1.071. рисунок 2.9 показывает уровень предпочтения m к интервалу Альтмана и в имитированных случаях функция принятия решении m > 0.5 рис.2.1.3. Математическое ожидание нечёткости близко к единице M(m) = 0.91 с маленькой среднеквадратичным уклонением , что свидетельствует высокой степени доверия к полученным значениям вероятностей банкротства. Результаты проведённого исследования показывают возможность применения методики к рассмотренным случаям вычисления вероятности банкротства предприятий.

Описанная выше математическая модель дополняет модель Альтмана процедурой непрерывного вычисления вероятности банкротств предприятий с помощью полинома высокой степени, полученного методом интегрального среднеквадратичного приближения, а также в модель введена процедура вычисления значений функции принадлежности нечётких множеств, что позволяет указать какое из подмножеств является более четко или нечётко заданным. Введена функция принятия решения I(p) и определяется её экономический смысл. Даётся схема последовательности вычислений при оценке кредитоспособности предприятия. По входным исходным данным ki последовательно находятся z, p, i, m для упорядоченных множеств .

Имитационное исследование, проведенное в данной работе, подтверждает выводы о возможностях модели и дало набор устойчивых статистик. Используя предлагаемую модель, кредитор сможет более обосновано принимать решения об оценке кредитоспособности данного предприятия. Разработанная методика оценки нечёткости может применяться и к другим моделям оценки кредитоспособности предприятия: модели Давыдовы, Зайцева, Сайфуллина, Кадыкова и других с соответствующей необходимой модификацией.

.2 Метод Ньютона для нахождения экстремумов функционалов

методы оптимизации и решение систем нелинейных уравнений тесно связаны. Для заданных достаточно гладких отображений и задача

порождает задачу нахождения корней системы уравнений в силу необходимых условий экстремума в нормированных пространствах, где , .

здесь представлен способ, обобщающий метод решения нелинейных уравнений [51] на отыскание экстремума функций. На текстовых примерах и примерах главы 2.1 диссертации показано, что метод расширяет область сходимости с разных начальных приближений, заведомо не удовлетворяющих достаточным условиям сходимости классического метода Ньютона.

2.2.1 Теорема о сходимости метода Ньютона

Решается актуальная для вычислительной математики задача модификации метода Ньютона для вычисления локализованного экстремума сильно выпуклой функции с целью расширения области сходимости итераций. Благодаря предложенной модификации итерационный процесс должен приводить в область локализации искомого экстремума, в которой выполняются условия сходимости классической процедуры сходимости метода при параметре шага итерации равном единице.

Используя результаты работы [51] можно получить следствие из доказанной там теоремы, при наложении необременительных условий гладкости.

рассмотрим задачу отыскания экстремума (минимума для определённости) в некоторой выпуклой замкнутой области конечномерного линейного нормированного пространства

, (2.12)

где функция сильно выпукла на выпуклом замкнутом множестве нормированного линейного пространства, что обеспечивает единственность локального минимума [18], [39].

Отметим, что сильно выпуклые функции являются подклассом строго выпуклых функций, для которых этот результат сформулирован [18], [39].

Предположим наличие достаточной гладкости у функции .

Обозначим . В [51] получены условия, при выполнении которых справедлива теорема о сходимости вычислительного процесса Ньютона для решения систем нелинейных уравнений с выбором итерационного параметра. Решение задачи минимизации функции эквивалентно нахождению корня системы нелинейных уравнений или

Алгоритм Ньютона для отыскания экстремума содержит итерационный параметр. Для обеспечения сходимости метода Ньютона предлагается способ выбора итерационного параметра шага.

Для упрощения доказательства теорем у функции предполагается повышенный запас гладкости. Благодаря предложенной модификации итерационный процесс, основанный на методе продолжения, должен приводить в область локализации искомого решения, в которой выполняются достаточные условия сходимости классической процедуры.

предположим наличие достаточной гладкости у сильно выпуклой функции в задаче (2.12).

а)

б)

Как отмечено задача (2.12) имеет единственное решение (оптимальную точку x*) и при сформулированных условиях a) — б) существует область , содержащая , с любой точки которой классический () метод Ньютона для задачи (2.12) сходится к корню, однако диаметр области мал.

Достаточные условия сходимости процесса, позволяют выделить в общем случае область c ещё меньшим диаметром , а сходимость итераций с произвольной точки не гарантируется.

Отображения задаются формулами

,

где , — первая и вторая производные, L (Rn,Rn) — линейное нормированное пространство матриц, В — билинейный оператор [37], (см. гл.1). В качестве нормы взята m-норма [26], (см. гл.1):

Используя введённые понятия и обозначения можем доказать теорему, как следствие теоремы [51] о сходимости модифицированного (2.13) — (2.15) метода Ньютона, задаваемого следующими формулами

(2.13)

(2.14)

(2.15)

теорема. Если выполняются условия а) — б), то процесс (2.13) — (2.15) для задачи (2.12) с любой точки x0 Î G за конечное число шагов j=l приводит к начальному приближению , начиная с которого процесс (2.13), (2.14) совпадает с классическим методом Ньютона и сходится к корню .

Доказательство.

Если следовать методу доказательства теоремы [51], то при сформулированных допущениях a) — б) доказательство данной теоремы сводится к указаниям на то, что задача поиска экстремума с заданными допущениями эквивалентна задаче отыскания корней системы нелинейных уравнений

с заданными четырьмя допущениями а)- г) [51].

а), б) , в) , г)

где .

а) Если , то

в) Если сильно выпукла на G, то выполняется (и ) на G [18].

г)Так как предполагаем , то

Все четыре условия для функции выполнены, следовательно модифицированный процесс Ньютона (9)-(11) приведёт к области , содержащей , с любой точки которой классический () метод Ньютона сойдётся к минимуму функции ч.т.д.

Таким образом для теоремы-следствия доказаны достаточные условия сходимости модифицированного метода (2.13), (2.15).

Практическое применение предполагает момент остановки алгоритма, который обычно сочетает два признака, того, что процесс достиг заданной точности. Процесс поиска останавливается, когда выполняются приближённо необходимые условия экстремума

.

Следствие сформулировано для сильно выпуклых функций, у которых , однако практически эта величина может быть очень малой, особенно при применении при сведении задачи с ограничениями к безусловной оптимизации после применения метода штрафных функций. Либо сам функционал может не принадлежать классу сильно выпуклых функций и тогда условие не гарантируется во всей области G . Поэтому практически возможно прибегать к регуляризации алгоритма с помощью малого параметра

,

где E — единичная матрица [3].

Тогда решение системы линейных уравнений всегда существует. Кроме того возможен подбор параметров и с целью оптимизации процесса поиска экстремума или с целью обеспечения свойства релаксации итерационного процесса

.

нужно заметить, что формулами трудно воспользоваться на практике, так как постоянные N, M как правило, в задачах практического содержания, далеко не всегда известны. Тем не менее таковые теоремы позволяют указать на имеющуюся принципиальную возможность устранить одно из самых существенных недостатков метода Ньютона, которое заключается в выборе хорошего начального приближения и предлагают некоторые способы для этого [18], [39].

2.2.2 Тестовые примеры для анализа сходимости модификаций метода Ньютона

Рассмотрим скорость сходимости для предложенных методов оптимизации на конкретных тестовых примерах.

Пример 2.6. [3]. .

Данный пример широко использовался для иллюстрации работы различных алгоритмов в [базар]. Например классический метод Ньютона сходится за 16 шагов с точностью и

Рис 2.10. График сходимости метода Ньютона

Непосредственное использование формулы следствия нерационально, так как ограничивающие величины трудно оценить, и кроме того осложнение возникает из-за того, что функция не является сильно выпуклой. Условие б) в точке очевидно не выполняется.

, .

Представление о характере сходящегося процесса можно, тем не менее оценить практически, взяв например постоянный шаг вычисленный в начальной точке .

,,

,

, N = .

Рис 2.11. Сходимость метода Ньютона с постоянным шагом

Вычисляем итерационный шаг в точке x0 и берём его в качестве постоянного Малость шага означает, что процесс приближённо осуществляет непрерывный аналог метода Ньютона

.

Процесс сходиться за 992 шага с точностью , .

2.2.3 влияние параметра регуляризации

Исследуем влияние параметра регуляризации в процессе (2.13).

Для этого рассмотрим сходимость при различных параметрах указанных в таблице при достигаемой точности . Чем больше параметр регуляризации , тем в большей степени процесс приобретает свойства градиентного метода. При достаточно больших процесс определяется формулой

,

что соответствует простому градиентному методу, с итерационным шагом . В таблице указаны количество итераций для разных случаев.

Таблица 2.6. количество итераций зависимо от параметров и

12929335128592172346414617554295852225577011716340715354361072212912273498571702

О характере траекторий можно составит правильное первая цифра в скобке означает номер строки, вторая— номер столбца.

Из рисунка видно, что с увеличением параметра регуляризации линии спуска все в большей мере становятся перпендикулярными к линиям уровня, но вместе с тем возрастает количество необходимых шагов для достижения заданной точности.

Рис 2.12. Траектории спуска для четырех случаев 1-4 из таблицы: 1-(1,1), 2-(1,5), 3-(5,5), 4-(5,1). Кривая 5 рассчитана со значениями параметров . Все траектории приводят сначала к линии дна оврага, а затем в точку локального минимума х* =(2, 1)

Кривая 5 отвечает методу градиентного спуска из за большого параметра регуляризации .

Рис 2.13. Зависимость погрешности от логарифма номера шага при заданной небольшой точности .

Из рисунка видно, что невысокая точность достигается значительно раньше, чем те которые указаны в таблице при и количество шагов определяется параметром (кривые 1 и 2 относятся к ; кривые 3 и 4 относятся к ).

Из проделанного анализа можно сделать вывод, что на первых шагах лучше использовать метод градиента [18], а на заключительных метод Ньютона. Для реализации такого приёма предлагаем следующий процесс

, (2.16)

.(2.17)

Практически подобраны значения , и процесс обладая на первых шагах свойствами градиента, тем не менее, сходиться с точностью за 17 шагов.

Рис 2.13. траектории спуска. Классический (1) процесс , Ньютона (формулы (2.16) (2.17) 12 итерационных шагов) и (2) процесс при , (формулами (2.16) (2.17) 17 итерационных шагов).

Рис 2.14. Зависимость погрешности от логарифма номера шага при заданной точности .

2.2.4 Минимизация функционала

Параметры для процесса (2.16) (2.17) найденные в предыдущем пункте используем для оптимизации функционалов.

Полином 1-й степени

В двумерном пространстве , полином первой степени (2.3) имеет следующий вид:

,

Тогда задача минимизации

,

Рис 2.15. линии уровня для значения функции и процессы (1) (2) и (3) минимизации, с начальных приближений (1; -0,25) и (1; 0,05), (1, 1) при этом в конечной оптимальной точке .

Решалась при значениях , с помощью процесса (2.16), (2.17) без ограничений указанных в пункте 2.1 формула (2.4 б))

Линии уровня сильно вытянутые, на первых шагах итерации приводя в область дна оврага, после чего движение осуществляется по дну оврага.

Рис 2.16. Зависимость нормы градиента от номера шага. количество шагов равно 4.

Благодаря оптимальному выбору коэффициентов выбору , на первом шаге итерационной процесс приводит к малому значению целевой функции.

Проводились аппроксимация множеств Альтмана с помощью полиномов все повышающихся степеней. Для этого минимизировалась целевая функция, полученная методом штрафных функций

,

где , ,

, ,

, ,

,.

Результаты представлены на рисунках 2.1а) — 2.1д). Для улучшения сходимости и уменьшения числа итераций использовался идея продолжения по параметрам. Для каждого нового полинома более высокой степени выбиралось начальное приближение, достигнутое с полиномом более низкой степени. Удовлетворительные результаты получались при степени полинома равном 6. При этой степени убывание функционала практически незаметно (рис.2.2), и полином является строго убывающей функцией.

2.3 Выводы ко второй главе

. Усовершенствована теория Альтмана путём привнесения в теорию идеи непрерывного наилучшего среднеквадратичного приближения множеств Альтмана с помощью полиномов. Выбрана оптимальная степень полинома обеспечивающая с одной стороны достаточный минимум целевой функции и с другой стороны-монотонность самого полинома. Экспериментально, с помощью численных экспериментов, выбраны оптимальные параметры оптимизационного алгоритма Ньютона: параметр регуляризации и итерационный параметр шага. Возникающая оптимизационная задача решалась разными способами и показано, что достигается высокая точность при решении любым из предложенных способов.

. Доказана теорема о сходимости метода Ньютона, которая является аналогом приближенного численного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах [51]. Для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций предлагается метод специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге.

. Модифицированный метод Ньютона с регуляризацией применен к задачам: 1) определения коэффициентов аппроксимирующего полинома достаточно высокой n -й степени в задаче интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана для минимизации функционала полученного с помощью метода внешних штрафов. 2) Показано, что полученные результаты в пределах численной погрешности совпадают с результатами других методов оптимизации, в том числе из стандартных математических пакетов. Имитационное моделирование подтвердило выводы моделей с набором устойчивых статистик.

. Для реализации предложенных методов был разработан проблемно ориентированный (нацеленный на оценку кредитоспособности предприятий) комплекс программ, позволяющий сочетать встроенные функции и разработанные методы минимизации программной среды MathCAD для моделей оценки кредитоспособности предприятий.

. Разработанная теория и программы используются на факультете математики и компьютерных наук для обучения бакалавриатов и магистров. созданы три программных продукта (ЭВМ) и зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам

Глава 3. Разработка математической модели принятия решения на основе модели Бивера

В главе предложена методика определения значимости показателей и рисков при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля. Разработан численный алгоритм модели принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию-заемщику, основанные на свертке критериев многокритериальных задач.

Приведена модель оценки кредитоспособности предприятия, разработанная с помощью нейросетевых технологий на основе известной методики Бивера.

Разработанные модели реализованы в программных математических пакетах STATISTICA NEURAL NETWORKS и MATHCAD 15.

.1 Определение значимости показателей и рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия с помощью моделей математической оптимизации

Разработана методика определения доли коэффициентов Бивера в портфеле, образованном из этих коэффициентов, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля. Предлагаемая методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

Для прогноза банкротства предприятия финансовым аналитиком Уильямом Бивером была предложена система показателей, позволяющая оценить финансовое состояние предприятия с целью диагностики банкротства при оценке его кредитоспособности [99], [88].

Величину существующей угрозы банкротства предприятия можно оценить (приближенно) по пятифакторной модели У. Бивера, основанной на расчете следующих показателей этого предприятия: — чистая Прибыль, — амортизация производственных фондов, — заемный Капитал, — оборотные активы, — краткосрочные обязательства перед юридическими и физическими лицами, — собственные оборотные средства, — вне-оборотные активы.

На основе значений показателей , вычисляются значения коэффициента Бивера -, коэффициента текущей ликвидности -, коэффициента Рентабельность активов — , коэффициента финансовой зависимости, коэффициента собственных оборотных средств в активах — .

На основе значений , определенных У. Бивером для трех видов компаний: благополучных, обанкротившихся в течение года, ставших банкротами с течение пяти лет, делается вывод о возможности банкротства исследуемого предприятия.

Для благополучных предприятий (первая группа) , , , , ; для предприятий за 5 лет до банкротства (вторая группа) , , , , ; для предприятий за 1 год до банкротства (третья группа) , , , , (см. таб. 1). [29].

Портфель является совокупностью различных инструментов, которые собраны для достижения конкретной инвестиционной поставленной цели вкладчика [63]. В данной работе портфель означает совокупность различных показателей. Под доходностью , мы понимаем линейную комбинацию параметров Бивера. Параметры Бивера меняются во времени.

Предположим, что являются случайными величинами, имеющих среднее квадратичное отклонение . Сформируем «портфель» из коэффициентов , т.е. образуем совокупность из показателей Бивера. Пусть — вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в совокупности (т.е.), , , .

Пусть — линейная комбинация параметров Бивера, отражающая эффективность совокупности параметров .

Согласно выше предположениям, мера риска допустить среднеквадратическую ошибку при оценке кредитоспособности предприятия равна [13], [41], [42]:

, (3.1)

где — ковариация между , , т.е. , .

задача определения доли (веса) , , различных показателей Бивера сводится к решению однокритериальной задачи оптимизации портфеля:

. (3.2)

Данная задача представляет собой задачу минимизации квадратичной формы от n переменных , удовлетворяющих условиями , , , то есть задачу квадратичного программирования. Решая уравнение (3.2), получим различные значения , . Чем больше значение , тем больше влияет — й показатель Бивера на меру риска, т.е. позволяет допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности R (портфеля) из показателей Бивера.

Решение данной задачи выполнено с использованием компьютерной техники на базе математического пакета MathCAD с применением пяти методов математической оптимизации [8]: обобщённым методом Ньютона, аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов. Применение этих методов, позволяет принять более обоснованный анализ при решении поставленной задачи.

Решая уравнение (3.2) разными методами, получим различные значения , . Чем больше значение , тем больше влияет -й показатель Бивера на меру риска, т.е. тем больше позволяет допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности совокупности (портфеля) из показателей Бивера.

Пример 3.1. Экспериментальные данные показателей Бивера (см. таб. 3.1), рассчитанные на основе бухгалтерского баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65], представлены в таб. 3.1.

Таблица 3.1. значения показателей системы У. Бивера предприятия ОАО «Ленмолоко»

ПоказателиЗначения показателей2011 г.2010 г.2009 г.2008 г.2007 г.Коэффициент Бивера, 2,1861,2710,4320,3150,653Коэффициент текущей ликвидности, 0,2380,5512,9672,4862,054Рентабельность активов, 0,9020,6970,1270,1120,241Коэффициент финансовой зависимости, 0,4130,5490,2940,3570,369доля собственных оборотных средств в активах, -0,314-0,2460,5790,5310,389

Рисунок 3.1. Графики изменения показателей , по годам.

Из рисунка 3.1, видно, что на протяжение всего периода (2007-2011 гг.) изменение показателя меньше, чем других показателей. Его минимальное значение 0,294, а максимальное 0,549.

Рассчитаем среднее арифметическое i-ого показателя Бивера, воспользовавшись формулой:

. (3.3)

Используя данные таб.2.3.2 по формуле (3.3) находим , , , и . Элементы ковариационной матрицы показателей , вычислим по формуле:

.

С помощью специальной разработанной программы приложенной к этой статье в Mathcad, получим следующую ковариационную матрицу :

Решая задачу (3.2) с помощью программной среды Mathcad четырьмя упомянутыми выше способами, находим минимальные значения , :

.

Минимальная дисперсия (минимальные значения меры риска ошибки) равна:

.

Все проводимые разные методы решения выше описанной задачи дают в пакете Mathcad одинаковые значения параметров и минимальные значения целевой функции в пределах высокой точности вычислений.

Выявлено, что коэффициенты значимости ===0.33, имеют одинаковое значение в пределах точности вычислений и это даёт основание считать, что коэффициенты Бивера , и приблизительно одинаково влияют на меру риска допустить среднеквадратичную ошибку при оценке эффективности портфеля. Так как ==0 значительно меньше, чем 0.33, то коэффициенты , и значительно больше влияют на меру риска, чем коэффициенты и . таким образом, при оценке финансового состояния экспертам нужно уделять большее вниманием коэффициентам , и . использование одновременно нескольких различных способов решения задачи оптимизации в пакете Mathcad свидетельствует о надёжности полученных решений оптимизационной задачи.

3.2 Принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию в многокритериальных условиях оптимизации

Рассматривается математическая модель алгоритма принятия решения о возможности выдачи кредита предприятию, основанную на свёртке критериев в многокритериальных задачах.

Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему . На момент выдачи кредита оно может принадлежать одной из трех групп: группа 1 — благополучное финансовое состояние предприятия, группа 2 — финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа 3 — «за год до банкротства». первая группа наименее рисковое состояние максимальный Доход для банка, и третья самая рисковое состояние и минимальный доход.

Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трех групп 1, 2, 3 определяется с помощью показателей Бивера : к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трёх показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе. Система показателей и нормативных значений для трех указанных видов компаний представлена в табл.3.2. [31], [99].

Таблица 3.2. Система показателей У. Бивера

Коэффициенты Нормативные значения рассчитанных коэффициентов и величинГруппа 1, благополучные компанииГруппа 2, за 5 лет до банкротстваГруппа 3, за 1 год до банкротстваКоэффициент Бивера, Коэффициент текущей ликвидности, Рентабельность активов, Коэффициент финансовой зависимости, Доля собственных оборотных средств в активах,

Современная процедура Бивера принимает решение исходя из данных одного года. Банк может принять решение выдать без ограничений, с ограничением до 5 лет или не выдавать кредит (или с ограничением до года). В этой таблице любой коэффициент принадлежит одной из трёх групп. Чтобы уменьшить риск ошибки принятия решения предлагается новая усовершенствованная количественная процедура, основанная на данных предприятия за несколько N предшествующих лет. Предлагается способ вычисления матрицы вероятности принадлежности к одной из трех групп коэффициентов Бивера за N лет.

Данные вычисленные коэффициенты системы Бивера за N лет любого предприятия имеют следующий общий вид матрицы К:

K11K21K31K41K51K12K22K32K42K52……….……….……….……….……….К=……….……….……….……….……….……….……….……….……….……….K1(N-1)K2(N-1)K3(N-1)K4(N-1)K5(N-1)K1NK2NK3NK4NK5N

где строка матрицы соответствует количеству наблюдаемых N лет, а столбцы — коэффициенты Бивера (на пример элемент K32 — коэффициент K3 за второй наблюдаемый год).

В этой матрице любой коэффициент в любой год принадлежит одной из трёх групп. поэтому можно с помощью этой матрицы находить вероятности каждого коэффициента Бивера находиться в одной из трех групп

, i = 1,…,5 ; j = 1,2,3,

где — количество случаев принадлежности i коэффициента ki к j-ой группе; N — количество наблюдаемых лет.

Вычисленные значения могут быть представлены в следующий вид матрицы:

P=

где .

Пусть — событие, обозначающее, что -й показатель принадлежит -й группе , , с рассчитанными вероятностями в матрице P.

В основе теории принятия решений полагается, что ЛПР рассматривает множество допускаемых решений, исходя из некоторых состояний среды, которая полностью определяется этими состояниями (состояния среды иногда называются стратегиями) [52]. В нашем случае состояние среды может принадлежать к одному из следующих состояний:

для первой группы ;

для второй группы ;

для третьей группы .

По теории Бивера [31] для принадлежности предприятия к j группе необходимо иметь не более двух отрицаний в каждом состоянии, поэтому общее число состояний в группе определяется формулой

где -число сочетаний из 5 по l

для первой группы ;

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

;

для второй группы —

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

;

для третьей группы —

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

.

Таким образом, среда состоит из 48 состояний : , , , i =1,2,3; m = 1, …, 16.

вычисляются вероятности каждого из 48 состояний по формуле.

В которой вероятности представлены в матрице P. например, для первого состояния имеющего два отрицания и принимая допущение о независимости имеем

Аналогично рассчитываются все остальные 47 случаев . Представим в виде матрицы рассчитанные вероятности 48 случаев по группе и по количеству состояний (k = 1, …, 16.) в каждой группе (i =1,2,3) .

=….….….….….….

Перед банком стоит проблема выбора принятия одной из трёх возможных стратегий. Каждая из стратегий позволяет получить банку определённый Доход, причём первая из стратегий — наибольший, (если решение о непредставлении кредита будет принято и минимальный, если все же рисковое решение принимается). чтобы выбрать самую надёжную стратегию с помощью полученных вероятностей рассчитаем математическое ожидание и среднеквадратичное уклонение от ожидаемого дохода при выбранной стратегии.

Предположим банк предполагает иметь Доход с предприятия в сумме руб. (Задание величины x приставляет самостоятельную проблему, зависящую от многих обстоятельств, в частности от экономических и законодательских условий). Для вычисления дохода по всем состояниям применяем простую формулу

Данные элементы упорядочены в виде элементов матрицы последствий , содержащую 3 строки и 16 столбцов (матрица последствий ожидаемого дохода XT ).

Величина a зависит от многих факторов, процента по кредиту, от группы j и т.д. Какова она, на этот вопрос должен дать эксперт и на этой стороне дела мы не останавливаемся. Представим

XT=….….….….….….

Столбцы в матрице есть точки Xi , i = 1,2,3 в пространстве R16.

предположим, что — средний ожидаемый доход, который получит Доход при стратегии , , , где — символ дисперсии. Тогда выше поставленная задача в этом параграфе сводится к двухкритериальной задаче [28]:

(3.5)

Решать подобные задачи (3.5) можно с помощью методики свёртки критериев. В данном случае, мы используем линейную свёртку, которая описана во многих источниках, например [71], [90], [27].

(3.6)

коэффициенты вычисляем по стандартному методу, изложенному в [27], (см. Гл.1), путем решения задачи среднеквадратичного программирования различными методами оптимизации, изложенными в главе 1, 2. В качестве заданных точек Xi, выбор которых необходим в методике [27] естественно выбрать столбцы матрицы XT .

Таким образом, если является максимальным фактором и указанием лицу принимающего решение о том, что банку рекомендуется придерживаться -ой стратегии, исходя из максимальности средневзвешенного линейного критерия доходности и риска.

.3 Модель системы оценки кредитоспособности с помощью нейросетевых технологий с обучающими параметрами Бивера

В данном параграфе диссертационного исследования предлагается методика построение оценки кредитоспособности предприятия-заемщика, разработанная с помощью искусственных нейронных сетей на основе показателей системы В. Бивера. Данная модель позволяет (с помощью имеющегося статистических данных), как и модель В. Бивера, классифицировать предприятия на три класса по степени его финансового состояние: первый — это класс с низким уровнем кредитоспособности (возможное существование большой угрозы банкротства), второй — класс среднего уровня кредитоспособности (предприятие низкого уровня банкротства), третий класс — это класс с высоким уровнем (устойчиво-финансовое состояние у предприятия). Значения этих коэффициентов определяют принадлежность рассматриваемого предприятия к одному из трех перечисленных классов: — Бивера; — текущей ликвидности; — рентабельности активов; — финансовой зависимости и — долей собственных оборотных средств в активах.

Программный продукт Statistica Neural Networks использовался при выборе метода обучения искусственной нейронной сети и её архитектуры. очевидно, что для определения топологии, процедуры тестирования и механизм обучения искусственной нейронной сети необходимо её формирование. Кроме того, для её обучения нужен набор входных данных — выборка предприятий с достоверной бухгалтерской отчетностью.

С помощью обработки статистических данных был сделан вывод: при формировании искусственной нейронной сети в данном случае (количественный анализ кредитоспособности предприятий-заемщика) именно архитектура трёхслойного персептрона и обучающий алгоритм обратного распространения являлись наиболее привлекательными (см. рис. 3.2).

рисунок 3.2. Архитектура трехслойного персептрона искусственной нейронной сети

На рисунке 3.2. представлен общий вид архитектуры трехслойного персептрона искусственной нейронной сети, в которой первый слой представляет входной, последующие вступают в качество скрытых или внутренних, последний является выходным. Нейрон является вычислительным блоком, получающим ряд входных данных (информацию) непосредственно из предыдущих нейронов. Когда информация поступает из нейрона (input), то ей присваивается вес W, представляющий способность предыдущего нейрона воздействовать на следующий нейрон (hidden Layer). следовательно, выходной нейрон (output Layer) выдает выходной слой результатом работы сети.

Представлены конфигурационные параметры предлагаемой сети в следующей таблице (см. таб. 3.3).

Таблица 3.3: параметры трёхслойной нейронной сети

Общие параметрыПараметры скрытого слояПараметры выходногоКоличество узлов во входном слое: 5Коэффициент обучения:0,25Коэффициент обучения: 0,01Число узлов в скрытом слое: 10Коэффициент инерции: 0,6Коэффициент инерции: 0Число узлов в выходном слое: 1Затухание: 0Затухание: 0алгоритм обучения: Обратное распространениеФункция активации: Сигмоидальная

При построении предложенной нейронной сети используются указанные параметры в таблице 3.3. В процессе обучения, точность вычисления параметров нейронной сети определяет её высокую способность к обучению. В качестве параметров входного слоя сети используются в данном случае коэффициенты , , выше описанные, его единственное предприятия. Активационной функцией была является сигмоидальная функция [14]:

,

где является выходным сумматора значения нейрона, — константа, определяющая «крутизну» функций и выбирается экспертам (на практике часто полагают выбирать ).

таким образом, предложенная модель финансового состояния предприятия, позволяет достоверно оценить его возможную кредитоспособность, является многослойным персептроном (MLP), в котором параметры входного сигнала преобразуются в выходных, проходя через несколько скрытых (внутренних) слоев (hidden Layer). Обучающий набор данных сети поступает из базы информации предприятии, с её помощью определяются следующие коэффициенты: — Бивера, — текущей ликвидности, — рентабельности активов, — финансовой зависимости и — коэффициент долей собственных оборотных средств в активах. С помощью анализа этих коэффициентов построенная модель позволяет определить финансовое состояние исследуемого предприятия.

Пример 3.1. Приведем пример на основе конкретного предприятия применения описанной модели. Используя бухгалтерские (статистические) данные баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за 12 лет (2000-11 г.), вычислим «в ручную» показатели Бивера (см. таблицу. 2.8) и будем их использовать для сравнения с такими же коэффициентами, вычисленными с помощью предложенной нейронной сети.

Таблица 3.4. значения показателей Бивера и финансовое состояния предприятия ОАО «Ленмолоко»

ПоказательКоэффициент Бивера, k1Коэффициент текущей ликвидности, k2Рентабельность активов, k3Коэффициент финансовой зависимости, k4Доля собственных оборотных средств в активах, k5Состояния банкротства предприятия2000 г.1,460,360,060,361,565 лет до банкротства2001 г.0,951,640,200,760,80благополучное2002 г.2,051,250,050,450,905 лет до банкротства2003 г.1,250,060,090,600,64Благополучное2004 г.0,500,100,100,400,045 лет до банкротства2005 г.0,110,990,030,360,065 лет до банкротства2006 г.0,600,890,020,400,025 лет до банкротства2007 г.0,652,050,240,370,395 лет до банкротства2008 г.0,312,490,110,360,53Благополучное2009 г.0,432,970,130,290,58Благополучное2010 г.1,270,550,700,55- 0,25пять лет до банкротства2011 г.2,190,240,900,41- 0,31Благополучное

Обратим внимание, что в течение всего периода рассматриваемого предприятие находится чаше в состояние «5 лет до банкротства», т.е. его финансовое состояния не стабильно. Из десяти построенных различных моделей нейронных сетей выбираем наилучшую (см. таб. 3.5).

Таблица 3.5. различные модели нейронной сети, описывающей финансовое состояние предприятия ОАО «Ленмолоко»

Проанализировав выше приставленные данные в таб. 3.5, можно сделать следующий вывод: из 10-и построенных моделей сети десятая модель является наилучшей, поскольку её значения обучающей и контрольной производительностей больше, чем у остальных моделей. Из многослойного персептрона модели — 5-5-2, найдем матрицу ошибки (см. таб. 3.6). Она указывает число правильно и неправильно проведенных классификаций финансового состояния рассматриваемого предприятия ОАО «Ленмолоко»

Таблица 3.6. Матрица ошибки многослойного персептрона — 5-5-2 модели сети, описывающей финансовое состояние предприятия ОАО «Ленмолоко»

В матричной ошибке каждого класса приводится количество наблюдений, отнесенных нейронной сетью к определенными классам. В рассматриваемом случае предложенная модель разбила наблюдения на десять обучающей выборки (см. таб. 2.10) по двум классам («благополучно» и «5 лет до банкротства»). Согласно таб. 2.10 80% наблюдений (состояния предприятия) классифицировано верно, а 20% классифицировано ошибочно. Это указывает на то, что сеть хорошо (качественно) обучилась. Нейронная сеть позволяет так же определить важнейшие входные показатели сети. В табл. 3.7 приведена степень значимости каждого показателя в данной сети. Это позволят эксперту обратить внимание на более важные показатели, позволяющие правильно оценить кредитоспособность рассматриваемого предприятия.

Таблица 3.7. Анализ чувствительности MLP (многослойный персептрон — 5-5-2) модели показателей предприятия ОАО «Ленмолоко»

Из таблицы 3.7 следует, что коэффициент финансовой зависимости является наиболее значимым при определении кредитоспособности предприятия ОАО «Ленмолоко», так как его величина чувствительности выше, чем у остальных коэффициентов (чувствительность каждого коэффициента дает По результатам обучения нейронной сети проводилось сравнение целевого (target) и выходного (Output) значений обученной модели сети с помощью тестовой (Validation) и обучающей (Train) подвыборок. В результате была сгенерирована таблица 3.8.

Таблица 3.8. Прогноз выходного параметра MLP (многослойный персептрон — 5-5-2) модели финансового состояния предприятия ОАО «Ленмолоко»

Из таблицы 3.8 следует, что выводы о финансовом состоянии предприятия (по годам), сделанные с помощью предлагаемой модели незначительно отличаются от выводов, представленных в таблице 3.9. Это подтверждает качественный прогноз финансового состояния ОАО «Ленмолоко», полученный с помощью нейронной сети.

С помощью обученной нейронной сети были вычислены показатели Бивера. Для 2011 г. они равны: , , , , (см. таб. 3.9)

Таблица 3.9. Прогноз значений выходного параметра MLP модели (многослойный персептрон — 5-5-2)

Используя значения коэффициентов , , был сделан вывод о финансовом состояния предприятия в 2011 году (см. таб. 3.9): предприятие ОАО «Ленмолоко» находится в состоянии «пять лет до банкротства» (что полностью согласуется с выводами из таб. 3.4).

Сравнение результатов, полученных с помощью нейросетевого анализа с оценками, полученными по методике У. Бивера, позволяет заключить: с помощью предложенной модели можно получить достаточно надежное заключение о кредитоспособности предприятия.

3.4 Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита.

STATISTICA предлагает широкий спектр инструментов статистического анализа, управления и представления данных. От импорта базы данных или таблиц, полученных из исследований и опросов, с которыми можно установить описательную статистику, просчитать вероятности, провести типологии с помощью средств интеллектуального многофакторного анализа [84]. Кроме того, в пакете STATISTICA входит множество инструментов для моделирования и широкого круга инструментов диаграммами. В составе прикладных программ пакета STATISTICA входит программа Neural Network (Искусственные нейронные сети), предназначен для моделирования и прогнозирования связей между данными или комплексными функциями.

Искусственные нейронные сети, широко известный под аббревиатурой ИНС [15] (искусственная нейронная сеть) являются нелинейными математическими моделями типа «черный ящик», способные устанавливать отношения между системой входов и выходов. Эффективность их работы в области нелинейного моделирования было доказано в нескольких областях техники и науки. Можно с помощью пакета определить сети частично, подключенные в некоторых конкретных сетях предыдущего слоя. Тем не менее, в большинстве приложений, сетей полностью подключены являются предпочтительными, и это тип сети, который предлагается в STATISTICA Нейронные Сети автоматизированных.

Как и большинство статистических моделей, нейронные сети способны выполнять различные типы задач, в том числе регрессии, классификации и прогноза на основе входных набора значений [84].

MathCAD [69], [92] — это математический и технический редактор, позволяющий провести разнообразные научные и инженерные расчеты, от элементарной арифметики до реализации сложных задач численными методами. Благодаря легкому применению, структурированием функций и методов в библиотеке, наглядности математических действий, а также аппарату представления результатов, MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением для решения технических задач. Также MathCAD является программным обеспечением для решения, анализа и совместного использования наиболее важных инженерных и технических задач. Он предлагает удобный интерфейс, выполняет мгновенный пересчет и базируется на открытой архитектуре, которая поддерживает .NET и собственный формат XML [69], [92].

3.4.1 Программный комплекс (Sini-Don)

Данная программа под названием «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)» предназначена для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия. Она позволяет кредитующей организацией (ЛПР) на основе имеющегося бухгалтерского (статистического) данных, выделить три класса кредитоспособности предприятия. Но, в отличие от известных (обычных) методик, она позволяет получить не только атрибутивную оценку прогноза финансового состояния заемщика, но и ускорить принятие решения о возможности выдачи данному предприятию требуемого кредита. С помощью (РИД) можно выделить три класса кредитоспособности предприятия.

Рис.3.3. Диалоговое окно ввода значения параметров для прогноза финансового состояния исследуемого предприятия

С помощью бухгалтерского баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за последние двенадцать лет (2000 — 2011 г.) составлены входные данные показателей Бивера (см. таб. 3.4).

С помощью обученной нейронной сети были вычислены показатели Бивера. Они равны: , , , , .

Рис. 3.4. Прогноз финансового состояния выходного параметра модели сети

3.4.2 Программный продукт (PDMSC)

программа «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)» предназначена для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства предприятия (модели Альтмана) на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования. Она позволяет по заданным значениям модели Альтмана провести ранжирование рассматриваемых нечетких подмножеств, порождающих данной моделью и вычисляет меру принадлежности отнесения предприятия к полученному упорядоченному нечеткому множеству по степени нечеткости (доверия). В отличие от известных методик, она позволяет принимать обоснованное решение об оценке кредитоспособности предприятия и ускорить принятие решения о возможности выдачи требуемого кредита.

Как видно на рисунке 3.5. в качестве носителя выбрано , на котором заданы множества где представляет возможную вероятность банкротства исследуемого предприятия, соответственно с значением , найденного с помощью уравнения Альтмана. На этом носителе определяется функция принадлежности.

Рис. 3.5. — Функции принадлежности и графики четырех нечетких множеств

Следовательно — , — , — , — , причем первая соответствует нечеткому подмножеству («возможность банкротства высокая»; вторая — «возможность банкротства средняя»; третья — «возможность банкротства небольшая»; а четвертая — «возможность банкротства маленькая». Для нечётких множеств Xi задаётся функция предпочтения , позволяющая определить меру нечеткости множества , в данном случае, меру нечеткости вычисленной вероятности .

В пространстве Q[0,1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить расстояние между множествами A и A0, как среднеквадратичное расстояние между функциями принадлежности (см. ) [44].

Рис.3.6 — Диалоговое окно вывода значения параметров, позволяющих определить к какому множеству отнести исследуемое предприятие

В модели исходные параметры , образуют входы системы (входные переменные), позволяющие получить значение параметра z-Альтмана. Система может переходить из одного состояния в другое под действием случайных входных переменных . Величина z будет случайной, так как зависит от случайных показателей . Величины задаются случайным образом в пакете MathCAD. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью модели Альтмана, аппроксимирующей функции L6, функции принятия решения I(p) и алгоритма вычисления предпочтения m получаем номер множества i, того которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости .

Рис. 3.7

3.4.3 Программный продукт (PVRisk)

программа «Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)» предназначена для определения доли (значимости) показателей Бивера меру рисков в портфеле, образованном этими же коэффициентами, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск) при оценке кредитоспособности исследуемого предприятия. Она реализована с применением четырёх методов оптимизации: аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов. Кроме того, она позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии при оценке кредитоспособности.

Рис. 3.8. — Входная матрица портфеля, состоящая из показателей Бивера

Она может быть положена в основу анализа и оценки банковскими структурами кредитоспособностей предприятий-заемщиков и также может быть использована в учебном процессе при чтении курсов по экономико-математическому моделированию и теории математической оптимизации. Данная программа вводным потоком (показатели исследуемого предприятия) выводит минимальный риск, допекавшийся при оценке кредитоспособности.

Сформируем «портфель» из коэффициентов , т.е. образуем совокупность из показателей Бивера. Пусть — вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в совокупности (т.е.), , , .

Рис. 3.9. — Диалоговое окно вычисления значения значимости показателей и рисков предприятия.

С помощью программной среды Mathcad четырьмя способами оптимизации (аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов), находим минимальные значения , и минимальную дисперсию (минимальные значения меры риска ошибки).

3.5.Выводы к третьей главе

. Определены доли показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным.

. Построена количественная математическая модель принятия решения о возможности выдачи кредита предприятию, основанная на свёртке критериев в многокритериальных задачах. Данная математическая модели принятия решения является двухкритериальной задачей: 1-й критерий является необходимостью максимизировать средний получаемый Доход, 2-й — необходимость минимизировать риск не получить предполагаемый Доход за предоставление кредита. Данная описанная задача решается с помощью линейной свертки критериев, где весовые коэффициенты выбираются не экспертами, а на основе разработанного алгоритма. Использование на практике указанной методики позволяет лицу, принимающему решение ускорить принятия решения при выдаче требуемого кредита предприятию-заемщику и взвешенные решения о его выдаче.

. Приведённый метод исследования задачи оценки кредитоспособности предприятия, разработанная с помощью нейросетевых технологий на основе предложенной методики в работе Арутюняна, Коваленко, Уртенова (2014) [56] при этом для обучения сети используются показатели Бивера. Используя алгоритм обратного функционирования нейронной сети, прогнозируются (на несколько лет вперёд) значения коэффициентов У. Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия.

. Описаны программные комплексы, реализующие в рамках данной диссертации для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита.

Заключение

Разработка математических методов моделей достоверной оценки кредитоспособности, включая принятие решения о возможности выдачи кредита предприятию, являются в современных условиях актуальной научной и важной практической проблемой кредитующей организации и даже предприятиям. В связи с этими, в диссертационном исследовании были изложены следующие полученные результаты:

. Проанализированы существующие модели оценки кредитоспособности предприятий. Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствовать с использованием оптимизационных математических методов. В литературном обзоре описаны основные понятия необходимые для разработки математического аппарата для качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятия и принятия решения о возможности выдачи кредита.

. Усовершенствована теория Альтмана путем привнесения в теорию идеи непрерывного наилучшего среднеквадратичного приближения множеств Альтмана с помощью алгебраических полиномов. Определены коэффициенты аппроксимирующих полиномов достаточно высокой 1 — 9-й степени в задаче интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана для минимизации функционала полученного с помощью метода внешних штрафов. Выбрана оптимальная степень полинома — 6, обеспечивающая с одной стороны достаточный минимум целевой функции и с другой стороны-монотонность самого полинома. Имитационное моделирование подтвердило выводы моделей с набором устойчивых статистик.

. доказана теорема о сходимости метода Ньютона, которая является аналогом приближенного численного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах. Для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций предлагается метод специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге.

. Экспериментально, с помощью численных экспериментов, выбраны оптимальные параметры оптимизационного алгоритма Ньютона: параметр регуляризации и итерационный параметр шага. Возникающая оптимизационная задача решалась разными способами и показано, что достигается высокая точность при решении любым из предложенных способов.

. Определены доли показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным. Показано, что полученные результаты в пределах численной погрешности совпадают с результатами других методов оптимизации, в том числе из стандартных математических пакетов. 6. Для реализации предложенных методов был разработан проблемно ориентированный (нацеленный на оценку кредитоспособности предприятий) комплекс программ, позволяющий сочетать встроенные функции и разработанные методы минимизации программной среды MathCAD для моделей оценки кредитоспособности предприятий.

. Построена количественная математическая модель принятия решения на основе теории Бивера о возможности выдачи кредита предприятию, основанная на свёртке критериев в многокритериальных задачах. Данная математическая модели принятия решения является двухкритериальной задачей: 1-й критерий является необходимостью максимизировать средний получаемый Доход, 2-й — необходимость минимизировать риск не получить предполагаемый Доход за предоставление кредита. Данная описанная задача решается с помощью линейной свёртки критериев, где весовые коэффициенты выбираются не экспертами, а на основе алгоритма. Использование на практике указанной методики позволяет лицу, принимающему решение ускорить принятия решения при выдаче требуемого кредита предприятию-заемщику и взвешенные решения о его выдаче.

. Дан метод исследования задачи оценки кредитоспособности предприятия, разработанная с помощью нейросетевых технологий на основе предложенной методики в работе Арутюняна, Коваленко, Уртенова (2014) при этом для обучения сети используются показатели Бивера. Используя алгоритм обратного функционирования нейронной сети, прогнозируются (на несколько лет вперёд) значения коэффициентов У. Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия.

. Разработанная теория и программы используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «КубГУ» факультета математики и компьютерных наук на кафедре вычислительной математики и информатики. Разделы, посвященные применению аппарата нечётких множеств, имитационного моделирования, среднеквадратичное интегральное приближение, доказанная теорема о сходимости метода Ньютона, регуляризованный метод оптимизации включены в рабочую программу и используются в лекционных курсах для студентов магистратуры направления «Вычислительная математика» в курсах «Компьютерные и вычислительные методы», «Экономико-математические модели и вычислительные алгоритмы». Разработанные оптимизационные подходы используются в курсе «методы оптимизации» для бакалавриата. Созданы три программных продукта (ЭВМ) и зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Список литературы

1.Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов, — М.: Наука, 1974. — 290 с.

2.Бабищевич, П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум / П.Н. Бабищевич. -М.: Либроком, 2010. — 320 с.

.базара, М. Нелинейное программирование / М. Базара, К. Шетти. — М.: мир, 1982. — 583 с.

.Бамадио, Б. Меры нечеткости множеств, порождаемых моделью Альтмана / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Фундаментальные исследования, 2013. №1-3. — С.750 — 753.

.Бамадио, Б. Оценки кредитоспособности предприятия на основе пятифакторной модели Альтмана при использовании аппарата нечетких множеств и среднеквадратичного интегрального приближения / Б. Бамадио, М.В. Кузякина, К.А. Лебедев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). — Краснодар: КубГАУ, 2014. — №10(104)

.Бамадио, Б. Принятие решений о выдаче кредита в условиях многокритериальной оптимизации / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Современные проблемы науки и образования, 2014. — №3. — С.690

.Бамадио Б. программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC) / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015611295 от 27 января 2015 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

8.Бамадио Б. программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisk) / Б. Бамадио, К.А. Лебедев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ ЭВМ № 2015613753 от 25 марта 2015 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

9.Бамадио Б. Программный комплекс для прогнозирования состояние предприятия (Sini-Don) / Б. Бамадио, Е.А. Семенчин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014614142 от 14 апреля 2014 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

.Баренбойм П. Правовые основы банкротства. Учебное пособие / П. Баренбойм. — М.: белые альвы, 1995. — 200 c.

.Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М.: Наука, 1999. — 630 с.

.Белолипцев (Акулинин, Д.Ю. методы оценки экономической эффективности корпоративного управления в современных российских условиях / Д.Ю. Акулинин // Экономика и финансы, 2006. — №1. — С. 11 — 16.

.Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. Пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной — М.: финансы и статистика, 2006. — 432 с.

.Бодянский Е.В. Искусственные нейронные сети: архитектуры, обучение, применения / Е.В. Бодянский, О.Г. Руденко. Х.: Телетех, — 2004. 362 с.

.Боровикова В.П. STATISTICA Neural Networks: Методология и технологии современного анализа данных / В.П. Боровикова. — М.: горячая линия — Телеком, 2008. — 392 с.

.Бурбаки Н. Архитектура математики / Н. Бурбаки // Сер. «Математика и кибернетика», 1972. — № 1. — С. 4-18.

.Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. — М.: ИЛ, 1963. — 292 с.

.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

.Волков И.К., Загоруйко Е.А. исследование операций: Учеб. для вузов / И.К. Волков, Е.А. Загоруйко, под ред. В.С. зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. — 436 с.

.Гаврилова В.Е. Банкротство в россии: Вопросы истории, теории и практики: учеб. Пособие / В.Е. Гаврилова. — М.: ТЕИС, 2003. — 299 с.

.Галушкин А.И. Нейрокомпьютеры: Учеб. пос. для вузов / А.И. Галушкин. — М.: альянс, 2014. — 528 с.

.Галушкин А.И. Нейронные сети: основы теории / А.И. Галушкин. — М.: горячая линия — Телеком, 2010. — 496 с.

.Гиляровская Л.Т. Анализ и оценка финансовой устойчивости коммерческого предприятия / Л.Т. Гиляровская, А.А. Вехорева. — Спб.: Питер, 2003. — 349 c.

.Гиляровская Л.Т. комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: учеб. / Л.Т. Гиляровская, Д.В. Лысенко, Д.А. Ендовицкий. — М.: ТК Велби Проспект, 2006. — 360 с.

.Дебок Г. анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт / Дебок Г., Кохонен Т., пер. с англ. — М.: Альпина, 2001. — 317 с.

.Демидович Б.П. основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. — М.: Наука, 1966 г. — 664 с.

.Денисенко А.О. об одном способе свертки критериев в многокритериальных задачах и его применение при решении задач оптимизации портфелей ценных бумаг / А.О. Денисенко, Е.А. Семенчин // Фундаментальные исследования, 2012. — № 3. — С. 181-186.

.Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, Экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. — М.: Машиностроение 1, 2004. — 336с.

.Донцова Л.В. анализ финансовой отчетности: Учебник / Л.В. Донцова, Н.А. Никифорова. — М.: Дело и Сервис, 2005. — 368 с.

.Ежов А.А. Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике и бизнесе / А.А. Ежов, С.А. Шумский, под ред. проф. В.В. Харитонова. — М.: Мифи, 1998. — 222 с.

.Жданов (Астахов, В.П. анализ финансовой устойчивости фирмы и процедуры, связанные с банкротством / В.П. Астахов. — М.: Ось-89, 1995. — 80 с.

.Заде Л.А. понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. А. Заде. — М.: мир, 1976. — 167 с.

.Зайцева О.П. Антикризисный менеджмент в российской фирме / О.П. Зайцева. //Аваль (Сибирская финансовая школа), 1998. — № 11-12.

.Ибрагимов В.А. Элементы нечеткой математики: монография / В.А. Ибрагимов. — Баку: АГНА, 2010. — 392 с.

.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. — М.: прогресс, 1975. — 606 с.

.Казиев К.В. Применение кризис-прогнозных моделей в диагностике финансовой состоятельности предприятий / К.В. Казиев, Б.В Казиева. 2014.

.Канторович, JI.B. функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

.Канторович Л.В., Макаров В.Л. Математическая Экономика / Л.В. Канторович В.Л. Макаров // Математическая энциклопедия. Т.З. — М.: советская энциклопедия, 1982. -С. 584-591.

.Карманов В.Т. Математическое программирование / В.Т. карманов, — М.: Наука,1986, -256 с.

.Коваленко А.В. Современные математические методы анализа финансово-экономического состояния предприятия: монография / А.В. Коваленко, М.Х. Уртенов, Т.П. Барановская, В.Н. Кармазин. — Краснодар: КубГАУ, 2009. — 250 с.

.Колемаев В.А. Математическая Экономика: Учебник для вузов / В.А. Колемаев. — М.: Юнити-Дана, 2002. — 399 с.

.Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций: Учебник для вузов / В.А. Колемаева. — М.: Юнити-Дана, 2008. — 592 с.

.Колмогоров А.Н. Элементы тории функций и функционального анализа / А.Н Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Накуа, 1976. — 544c.

.Конышева, Л.К., Назаров Д.М. основы теории нечетких множеств: учеб. пос. / Л.К. Конышева, Д.М. Назаров. — Спб.: Питер, 2011. — 192 с.

.Кротов В.Ф. основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов, Н.И. Данилина, С.И. Сергеев. — M.: Высшая школа, 1990. — 432 с.

.Кузнецов Л.А., Перевозчиков А.В. Оценка кредитной истории физических лиц на основе нечетких моделей / Л.А. Кузнецов, А.В. Перевозчиков // Управление большими системами: сборник трудов, 2008. — №21. — С.84 — 106.

.Лагоша Б.А. основы теории оптимального управления Уч. пос. / Б.А. Лагоша, Т.Г. Апалькова. — М.: финансы и статистика, 2008. — 224 с.

.Лапыгин Ю.Н. Экономическое прогнозирование: учеб. пос. / Ю.Н. Лапыгин, В.Е. Крылов, А.П. Чернявский. — М.: Эксмо, 2009. — 256 с.

.Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов / В.В. Лебедев. — М.: Изограф, 1997. — 224 с.

.Лебедев К.А. Архитектура математики: топология, алгебра и функциональный анализ / К.А. Лебедев. — Крас.: КкбГУ, 2000. — 32 с.

.Лебедев К.А. об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона / К.А. Лебедев // Журн. выч. матем. и матем. Физики, 1996. — Т.36. — № 3. — С. 6 -14.

.Лялькина Г.Б. Математические основы теории принятия решений: учеб. пособие / Г.Б. Лялькина, под ред. В.А. Трефилова. — Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. — 118 с.

.Малыхин В.И. Высшая математика: учеб. пос. / В.И. Малыхин. — М.: Инфра, 2009. — 365 с.

.Мосейко В.О. Применение моделей диагностики банкротства при разработке финансовой стратегии предприятия / В.О. Мосейко, Е.В. Лущикова // бизнес. Образование. Право. Вестник Волгоградского института бизнеса, 2011. — № 2. — С. 147 — 151.

.Неделько В.М. некоторые вопросы оценивания качества методов построения решающих функций / В.М. Неделько // Вестн. том. гос. ун-та. управление, вычислительная техника и информатика, 2013. — №3 (24). — С.123 — 132.

56.Недосекин (Арутюнян, А.С. Математические основы финансово-экономического анализа. Часть 3. Нейросетевые технологии: уч. пос. / А.С. Арутюнян, А.В. Коваленко, М.Х Уртенов. — Крас.: Кубанский гос. техн. ун-т, 2014. — 150 с.

57.Недосекин, А.О. комплексная оценка риска банкротства корпорации на основе нечетких описаний / А.О. Недосекин.

58.Недосекин А.О. Применение нечетких множеств в бизнесе, экономике и финансах / А.О. Недосекин // Международная конференция «Нечеткие множества и мягкие вычисления в экономике и финансах». — 2004. — С. 1 — 10.

.Нестеров Ю.Е. Введение в выпуклую оптимизацию: монография / Ю.Е. Нестеров. — М.: МЦНМО, 2010. — 280 c.

.Никольский С.М. Курс математического анализа. Том I: Учеб. для вузов / С.М. Никольский. — М.: Наука, 1983. — 464 с.

.Никольский, С.М. Курс математического анализа. Том II: Учеб. для вузов / С.М. Никольский. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

.Орлов А.И. Теория принятия решений: учеб. пос. / А.И. Орлов. — М.: Март, 2004. — 656 с.

.Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Уч. пос. для вузов / И.В. Орлова. — М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. — 136 с.

.Открытое Акционерное общество (ОАО) «Концерн Росэнергоатом». 2013.

.Открытое Акционерное общество (ОАО) «Ленмолоко».

.Открытое Акционерное общество (ОАО) «Теплосеть».

.Патласов О.Ю. Применение моделей и критериев Альтмана в анализе финансового состояния сельхозпредприятий / О.Ю. Патласов // Финансовый Менеджмент, 2006. — №6.

.Пещанская И.В. Краткосрочный кредит: теория и практика / И.В. Пещанская. — М.: Экзамен, 2003. — 318 с.

.Плис А.И. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие для вузов / А.И. Плис, Н.А. Сливина. -М.: финансы и статистика, 1999. — 656 с.

.Попов В.Б. Анализ моделей прогнозирования вероятности банкротства предприятий / В.Б. Попов, Э.Ш. Кадыров // Экономика и управление, 2014. — Том 27 (66) — № 1. — С. 118 — 128.

.Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике: Уч. пос. / В.В. Розен. — М.: Вышаа школа, 2002. — 288 с.

.Савицкая Г.В. анализ хозяйственной деятельности предприятия: учеб. пос. / Г.В. Савицкая. — М.: Новое знание, 2002. -704 с.

.Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов: — М.: Физматлит, 2005, — 320 с.

.Семенчин Е.А. Нейросетевое моделирование прогноза уровня воды на горно-равнинных реках / Е.А. Семенчин, Ф.Ф. Бараненко, A.B. Войтюк // Экологические системы и приборы, 2010. — №11. — С.61 — 64.

.Слесаренко Г.В. Проблемы применения методик прогнозирования банкротства // Вестник удмуртского университета, 2010. — № 2-1. — С.38 — 45.

.Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. — М.: Наука, 1980. — 496 с.

.Уоссерман Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика: Уч. для вузов / Ф. Уоссерман. Пер. с англ. Ю.А. Зуев. — М.: мир, 1992. — 184 с.

.Федорова Г.В. Учет и анализ банкротств: учеб. пос. / Г.В. Федорова. — М.: Омега-Л, 2008. — 323 с.

.Федотова М.А. Как оценить финансовую устойчивость предприятия / М.А. Федотова // Финансы, 2002. — № 6. — С. 12-15.

.финансовый анализ. Модель Альтмана (Z модель). Пример расчета.

.финансовый анализ. Модель Таффлера и Тишоу.

.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1: Уч. пос. для вузов / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1966. — 608 с.

.Хайкин С. Нейронные сети / С. Хайкин, пер. с англ. — М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2006. — 1104 с.

.Халафян А.А. STATISTICA 6. Статистический анализ данных: Уч. / А.А. Халафян. — М.: бином, 2007. 512 с.

.Халкечев Р.К. Математические модели трудноформализуемых объектов. Финансовая устойчивость коммерческого банка / Р.К. Халкечев // Горный информационно-аналитический бюллетень, 2007. — №8. — С. 55 — 63.

.Харин Ю.С. основы имитационного и статического моделирования: уч. пос. / Ю.С. Харин, В.И. Малюгин, В.П. Кирлица, В.И. Любач, Г.А. Хацкевич. — Мн.: ПРО, 1997. — 288 с.

.Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб. / Е.М. Четыркин. — М.: Дело, 2000. — 400 с.

.Шаулюкоу А.П. финансовый менеджмент на предприятии: учеб. пос. / А.П. Шаулюкоу. — Гомель: ГКI, 2001. — 562 с.

.Шеремет,А. Д. методика финансового анализа деятельности коммерческих организаций: учеб. пос. / А. Д. Шеремет, Е. В. Негашев. — М.: Инфра-М, 2005. — 237 с.

.Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: Теория, вычисления и приложения / Р. Штойер, Е. М. Столярова, А. В. Лотов. — М.: Радио и связь, 1992. — 504 с.

.Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование / И.М. Яглом. -М.: Сов. радио, 1980. — 144 с.

.Яньков В.Ю. Лабораторный практикум по Маткаду. Модуль 3. Моделирование в Маткаде / В.Ю. Яньков. — М.: МГУТУ, 2009. — 68 с.

93.Altman E.I. Corporate Financial Distress and Bankruptcy: Predict and Avoid Bankruptcy, Analyze and Invest in Distressed Debt, 3rd Edition / E.I. Altman, E. Hotchkiss. — Wiley, 2005. — P. 368.

.Altman E.I. Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy / E.I. Altman // journal of finance, 1968. — vol. 23. — № 4, P. 589 — 609.

.Altrock C. Fuzzy logic. Band 1. Technologie / C. Altrock. — Munchen, BRD: R. Oldenburg. Verlag GmbH, 1993. — P. 475.

.Altrock C. Fuzzy logic. Band 2. Technologie. / C. Altrock. — Munchen, BRD: R. Oldenburg. Verlag GmbH, 1994. — P. 375.

.Argenti J. Corporate Collapse — the causes and symptoms / J. Argenti. — London: McGraw-Hill, 1976. — P. 190.

.Beaver W. Financial Ratio as Predictors of Failure, Empirical Research in Accounting / W. Beaver // Journal of Accounting Research, 1966. — vol. 4. — P. 71-111.

100.Catherine R. La prévision de la faillite fondée sur lanalyse financière de l’entreprise: un état des lieux / R. Catherine // Economie & révision, 2004.- vol. 162. — P. 129 — 147.

101.Chesser D.L. Predicting Loan Noncompliance / D.L. Chesser // The Journal of Commercial Bank Lending, 1974. — №56 (12). — P. 28 — 38.

.Cooley W. Lohness P. Factor analysis and multiple linear regression modelling. Regional Characterization of Water Quality / W. Cooley, P. Lohness // IAHS Publ, 1989. — №182. — P. 88-1208.

.Cybenko G. Approximation by superpositions of a sigmoidal function: Math / G. Cybenko // Control, Signais and Systems, 1989. — vol. 2. — P. 303 — 314.

.Dell Ariccia, G. Information and bank credit allocation / G. Dell Ariccia, R. Marquez // Journal of Financial Economics, 2004. — vol. 72. — P. 185-214.

.Deluca A. A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets / A. Deluca, S. Termini // Information and Control, 1972. — vol. 20. — № 4. — P. 301 — 312.

.Deluca A. On convergence of entropy measures of a fuzzy set / A. Deluca, S. Termini // Cybernetes, 1977. -vol. 6. — P. 219 — 222.

.Dempster A.P. Upper and Lower Probabilities Induced by a Multivalued Mapping / A.P. Dempster // Ann. of Math. Statistics, 1967. — vol.38. — P. 325 — 339.

.Desai V.S., Crook J.N., Overstreet Jr., G.A. A comparison of neural networks and linear scoring models in the credit union environment / V.S. Desai, J.N. Crook, Jr. G.A Overstreet // European journal operational, 1996. Vol. 95. — P. 24 — 37.

.Dimova L. Application of fuzzy sets theory, methods for the evaluation of investment efficiency parameters / L. Dimova // Fuzzy economic review, 2000. — № 1. -P. 34-48.

.Fulmer J. A Bankruptcy Classification Model For Small Finns / J. Fulmer, E. James, A. Thomas, J. Michael // Journal of Commercial Bank Lending, 1984. — №6. — pp. 25-37.

.Haykin S. Neural Networks: A Comprehensive Foundation / S. Haykin. — N.J.: Prentice Hall, 1994. — P. 874.

.Hertz J. Introduction to the Theory of Neural Computation / J. Hertz, A. Krogh, R.G. Palmer. — Addison-Wesley, 1991. — P. 327.

.Hiyama T., Sameshima T. Fuzzy logic control scheme for an-line stabilization of multi-machine power system / T. Hiyama, T. Sameshima // Fuzzy Sets and Systems, 1991. — vol. 39. — P. 181 — 194.

.Liu J. Model: Empirical Implications Anderson School of Management / J. Liu, J.A. Ohlson. — N.Y.U.: Stem School of Business, 1999. — P. 400.

.Maren A.J. Handbook of neural computing applications / A.J. Maren, C.T. Harston, M. Pap. Robert. — Calif.: Academie Press Inc., 1990. -P. 470.

.Mcculloch W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity / W. Mcculloch, W. Pitts // Bulletin of Mathematical Biology, 1943. — vol. 5(4). -P. 115 — 133.

.Oreski S. Hybrid system with genetic algorithm and artificial neural networks and its application to retail credit risk assessment / S. Oreski, D. Oreski, G. Oreski // Expert Systems with Applications, 2012. — vol.39. — № 16. — P. 12605 -12617.

.Rosenblatt F. The perceptron: A probabilistic model for information storage and organization in the brain / F. Rosenblatt // Psychological Review, 1958. — vol 65. — № 6. — P. 386 — 408.

.Rumelhart D.E. Learning internal representations by error propagation / D.E. Rumelhart, E. Hinton, J. Williams // Parallel distributed processing: explorations in the microstructure of cognition, 1986. — vol. 1. -P. 318 — 362.

.Sarle W.S. Neural networks and statistical models / W.S. Sarle // Proceedings of the Nineteenth Annual SAS Users Group International Conference (SAS Institute), Cary, North Carolina, 1994. P. 1538 — 1550.

.Sasaki T. Traffic control process of expressway by fuzzy logic / T. Sasaki, T. Akiyama // Fuzzy Sets and Systems, 1988. — vol. 26. — P. 165 — 178.

.Springate G.L.V. Predicting the Possibility of Failure in a Canadian Firm / G.L.V. Springate. Simon Fraser University, 1978. — P. 200.

.Taffler R.J. Going, going, gone four factors which predict / R.J. Taffler, H. Tisshaw // Accountancy, 1977. — №3. — P. 50 — 54.

.Van der Baan M. Neural networks in geophysical applications / Van der Baan, M.C. Jutten // Geophysics, 2000. -vol. 65(4). — P. 1032-1047.

.Voit F. Fuzzy Control versus konventionelle Regelung am Beispiel der Metro Mailand / F. Voit // Automatisierungstechnik, 1994. — vol. 42. № 9. — P. 400 — 410.

.Yager R. A note on probabilities of fuzzy events / R. Yager // Information Sciences, 1979. — vol. 18. — P.113 — 129.

.Yager R. On the measure of fuzziness and Negation. Part 1. Membership in the Unit Interval / R. Yager // Int. J. Gen. Systems, 1979. — vol. 5. — № 4. — P. 221 — 229.

.Zadeh L.A. A fussy algorithmic approach to the definition of complex and imprecise concepts / L.A. Zadeh // Int. Jour. Man-machine Studied, 1976. — — vol. 8. — № 3. — P. 249-291.

.Zadeh L.A. A Theory of approximate reasoning / L.A. Zadeh // Machine Intelligence, 1979. — vol. 9. — P. 149 — 194.

.Zadeh L.A. Fussy Sets / L.A. Zadeh // Information and control, 1965. — vol. 8. — P. 338 — 352.

.Zadeh L.A. The role of fussy logic in the management of uncertainty in expert system / L.A. Zadeh // Fussy sets Syst 1983. — vol. 11. — P. 199 — 227.

приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

финансовый кредит риск программный

приложение 4

Учебная работа. Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий