Учебная работа. Оптимальное распределение перевозок
оптимальное распределение перевозок
Содержание
Введение
. ПОСТАНОВКА задачи ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕВОЗОК
. ВЫБОР И ОПРЕДЕЛЕНИЕ показателей ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
.1 Автомобильный транспорт
.2 железнодорожный транспорт
.3 Речной транспорт
. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ оптимального РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
.1 Определение удельных затрат на доставку груза
.2 Составление матрицы задачи
.3 Нахождение оптимального плана перевозок
Заключение
список ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Большое количество грузов перевозится на сети и в транспортных узлах с участием двух и более видов транспорта в смешанном и прямом смешанном сообщениях.
одной из задач оптимального взаимодействия транспортных систем различных видов транспорта является задача оптимального распределения ограниченных ресурсов и перевозок между ними.
Задача оптимального распределения перевозок решается, как правило, для уже существующей сети путей сообщения и в рамках имеющейся провозной способности различных видов транспорта. Поэтому в качестве показателей оптимальности при решении этой задачи могут быть приняты эксплуатационные расходы или тарифы на перевозку грузов.
Задача оптимального распределения перевозок формулируется и решается по типу двухэтапной транспортной задачи линейного программирования.
. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕВОЗОК
Задан полигон транспортной сети с указанием расстояний участков.
задача состоит в том, чтобы распределить перевозки между различными видами транспорта, имеющимися в узле, таким образом, чтобы суммарные затраты на перевозку груза с учетом затрат на перевалку его с одного вида транспорта на другой в пунктах перевалки были бы минимальными.
Тогда целевую функцию можно записать в следующем виде:
, ( 1 )
где — объемы перевозок по связям соответственно поставщик — пункт перевалки, пункт перевалки — потребитель, поставщик — потребитель (одним видом транспорта без перевалки);
— затраты на перевозку одной тонны груза по соответствующим связям; — затраты на перевалку одной тонны груза на
— ом пункте перевалки.
Требуется отыскать такие значения , которые минимизируют целевую функцию ( 1 ) и удовлетворяют ограничениям, налагаемым на решения двухэтапной транспортной задачи линейного программирования.
2. ВЫБОР И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ задачи
В качестве показателей оптимальности для решения задачи можно принять эксплуатационные затраты на перевозку 1 т груза в зависимости от расстояния перевозки или тарифные затраты.
В том и другом случае выражения затрат в общем виде можно записать следующим образом:
, ( 2)
где — постоянные затраты, отнесенные на перевозку 1 т груза и связанные с содержанием постоянных устройств, начально-конечными операциями, простоем транспортных средств под грузовыми операциями, руб/т;
— затраты на перевозку 1 т груза на 1 км, руб/ткм;
— расстояние перевозки, км.
2.1 автомобильный транспорт
Удельные эксплуатационные расходы на перевозку I т груза автомобильным транспортом определяются из выражения:
где — соответственно переменные расходы и дорожная составляющая расходов, приходящаяся на 1 км пробега автомобиля;
qH — номинальная грузоподъемность автомобиля, т;
— коэффициент использования грузоподъемности автомобиля при перевозке заданного груза, ;
— коэффициент использования пробега автомобилей, = 0,5);
— коэффициент, учитывающий дополнительную заработную плату, начисления и надбавки водителям за классность, (к3 = 1.25);
С2 , С3 — сдельные расценки оплаты труда водителей соответственно за 1 т и 1 ткм;
La — расстояние перевозки груза по автомобильным дорогам, км.
При перевозке на автомобиле КАМАЗ-5511 qн= 10т.
руб/т.
2.2 Железнодорожный транспорт
Удельные эксплуатационные расходы на перевозку 1 т груза по магистральной железной дороге определяются из выражения:
где — расходные ставки соответственно по начально-конечной, движенческой операциям, содержанию постоянных устройств,
— расстояние перевозки груза по железным дорогам, км.
При перевозке груза в полувагоне с использованием электрической тяги:
2.3 Речной транспорт
оптимальный транспортный матрица груз
Удельные эксплуатационные расходы на перевозку 1 т груза речным транспортом определяются из выражения:
(5)
где — расходные ставки соответственно по начально-конечной, движенческой операциям, при стоянке судов под погрузкой и выгрузкой,
— коэффициент загрузки судна,(;
LP — расстояние перевозки груза по речным сетям, км.
При перевозке груза для судна типа 1а:
3. РЕШЕНИЕ задачи ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
3.1 Определение удельных затрат на доставку груза
Поиск кратчайших путей доставки груза методом перебора возможных вариантов не требует особых пояснений.
При определении кратчайшего пути доставки груза между двумя пунктами по сети автомобильных дорог целесообразно использовать метод динамического программирования. Для этого вырисовывается сеть автомобильных дорог между пунктами с учетом всех связей, кроме заведомо проигрышных. Все точки пересечения дорог нумеруются в порядке возрастания от конечного пункта к начальному. Так как динамическое программирование представляет собой метод пошагового принятия оптимального решения, то и процесс поиска кратчайшего расстояния разбивается на несколько шагов. К первому шагу относятся точки, из которых можно попасть в конечную не более чем за один шаг; к точкам i-го шага относят точки, из которых не более чем за один шаг можно попасть в точки (i -1)-го , (i -2)-го и т.д. шагов. На каждом шаге принимается условно-оптимальное решение, которое представляет собой кратчайший путь из данной точки до конечной.
рассмотрим пример определения кратчайшего пути доставки груза между пунктами R1 и Р3 по сети автомобильных дорог методом динамического программирования (рис. 1).
Рисунок 1 — Определение кратчайшего по стоимости пути между пунктами R1 и Р3 по сети автомобильных дорог методом динамического программирования
I шаг из 1 в Р3;
II шаг из Р4 в 1 и 3, из 3 в 1;
LР4= min (20+16 ; 17+26)=36км;
L3=10+16=26км;
III шаг из 2 в 3, из 4 в Р4;
L2=11+26=37км;
LР4=10+36=46км;
IV шаг из П4 в 2, П2, из 5 в 2;
LП4= min (18+40; 21+37) =58км;
L5=16+37=53км;
V шаг из П2 в 4,3,2, и изR3 в П4, 5;
LП2=min (38+46; 14+26; 15+37) =40км;=min (29+58; 16+53) =69км;
VI шаг из R2 в П2, П4, R3 и из 7 в 6,R3;
LR2=min (19+40; 24+58; 18+69) =59км;=min (8+69; 14+69) =77км;
VII шаг из Р1в 4, П2, R2 и из 6 в R2, R3;
LР1=min (60+46 ; 35+40 ; 15+59 ) =74км;=min (10+59 ; 12+69)=69км;
VIII шаг из R1 в Р1, 6;
LR1=min (25+74; 9+69) =78км;
таким образом, кратчайший путь из R1 в Р3 проходит через точки 6, R2, Р2, 3 и 1, а минимальная стоимость доставки груза равна:
руб/т.
Аналогично определяются минимальные стоимости (расстояние) доставки груза от каждого поставщика до каждого потребителя, от каждого пункта перевалки до каждого потребителя, от каждого поставщика до каждого пункта перевалки. Результаты сводятся в табл. 1 — 3, в которых буквой указывается также вид транспорта, которому соответствует минимальный путь доставки.
Таблица 1 — Минимальные стоимости доставки 1 т груза от поставщиков до потребителей без перевалки в пути
Р1Р2Р3Р4R1а (25) 33,55 ж (640) 90,46 р — а (38) 48,76 ж (730) 99,46 р -а (78) 95,56 ж (720) 98,46 р -а (69) 85,03 ж (580) 84,46 р -R2а (15) 21,85 ж (720) 98,46 р -а (19) 26,53 ж (810) 107,46 р -а (59) 73,33 ж (800) 106,46 р -а (50) 62,8 ж (660) 92,46 р -R3а (33) 42,91 ж (940) 120,4 р -а (37) 47,59 ж (850) 111,46 р -а (64) 79,18 ж (560) 82,46 р -а (55) 68,65 ж (700) 96,46 р —
Таблица 2 — минимальные стоимости доставки 1 т груза от поставщиков до пунктов перевалки, включая затраты на перевалку
П1П2П3П4П5R1а (25) 38,85 ж (640) 95,76 р -а (38) 54,16 ж (730) 104,86 р -а (69) 88,23 ж (580) 87,66 р -а (43) 58,01 ж — р -а (44) 60,08 ж(440)74,76 р -R2а (15) 27,15 ж(720)103,76 р -а (19) 31,93 ж (810) 112,86 р -а (50) 66,0 ж(800)109,66 р -а (24) 35,78 ж — р -а (41)56,57 ж(520)82,76 р -R3а (33) 48,21 ж(940)125,76 р -а (37) 52,59 ж (850) 116,86 р -а (55) 71,85 ж (700) 99,66 р -а (29) 41,63 ж — р -а (23) 35,51 ж (70) 37,76 р —
Таблица 3 — минимальные стоимости доставки 1 т груза с пунктов перевалки до потребителей
Р1Р2Р3Р4П1а 0 ж 0 р 0а (34) 44,08 ж (390) 65,4 р (200) 59,3а (74) 90,88 ж (380) 64,46 р -а (65) 80,35 ж (240) 50,46 р (360) 73,7П2а (34) 44,08 ж(390) 65,46 р (200) 59,3а 0 ж 0 р 0а (40) 51,1 ж (290) 55,46 р -а (31) 40,57 ж (150) 41,46 р (160) 55,7П3а (65) 80,35 ж (240) 50,46 р (360) 73,7а (31) 40,57 ж(150) 41,46 р (160) 55,7а (36) 46,42 ж (140) 40,46 р -а 0 ж 0 р 0П4а (39) 49,93 ж — р (195) 58,85а (18) 25,36 ж — р (35) 44,45а (58) 72,16 ж — р -а (49) 61,63 ж — р (195) 58,85П5а (56) 69,82 ж (870) 113,46 р (275) 66,05а (38) 48,76 ж (780) 104,46 р (115) 51,65а (60) 74,5 ж (490) 75,46 р -а (51) 63,97 ж (630) 89,46 р (275) 66,05
Пример дополнительных перевозок:
П1 р → П2 а → Р4: (200) 59,3 +5,4+(31) 40,57 = 105,27руб/т (км);
П2 р → П3 а → Р3: (160) 55,7 + 5,4 + (36) 46,42 = 107,52руб/т (км).
Доставка груза речным и автомобильным транспортом через пункты перевалки не выгодна, чем стоимость доставки одним видом транспорта.
3.2 Составление матрицы задачи
Для решения задачи оптимизации распределения перевозок по типу двухэтапной транспортной задачи линейного программирования составляется матрица, в которую из задания на курсовую работу заносятся ресурсы поставщиков потребности потребителей и перерабатывающие способности пунктов перевалки qk. Для того, чтобы транспортная задача была закрытой, должно выполняться условие:
Если же сумма ресурсов больше суммы потребностей:
то для преобразования открытой транспортной задачи в закрытую вводится столбец фиктивного потребителя, потребности которого равны избытку ресурсов:
Условием двухэтапности транспортной задачи является:
> 2310 — условие выполняется.
Необходимо ввести столбец фиктивного потребителя, потребности которого равны 90.
В качестве показателей оптимальности в верхней части клеток матрицы записываются:
в правой верхней части — Сij из табл. 1;
в левой верхней части — Сik + Sk из табл. 2;
в правой нижней части матрицы записываются Сij из табл. 3. если выполняется условие:
Cik + Sk + Сkj < Сij (8)
Если же условие (8) не выполняется, в клетке этой части матрицы записывается запрет М.
В клетки фиктивной диагонали левой нижней части матрицы в качестве показателей оптимальности записываются нули, в остальные клетки этой части — запрет М.
Если вводится столбец фиктивного потребителя, то в верхнюю часть столбца, записываются нули, в нижнюю — М.
В нижней части клеток матрицы буквой обозначается вид транспорта, которому соответствует минимальное значение показателя оптимальности.
Выполнение условия (8) проверяется сравнением стоимости доставки 1т груза от каждого поставщика до определенного потребителя через определенный пункт перевалки со стоимостью доставки без перевалки. поэтому для каждой клетки нижней правой части матрицы записывается три неравенства. Если хотя бы в одном из них левая часть (стоимость доставки с перевалкой) меньше правой (стоимость доставки без перевалки), то в соответствующую клетку записывается Сkj. В соответствии с показателями оптимальности матрицы системы неравенств можно записать:
Клетка П1 Р1: 38,85 + 0 > 33,55; 27,15 + 0 > 21,85; 48,21 + 0 > 42,91;
клетка П1 Р2 38,85+44,08 > 48,76; 27,15+44,08 > 26,53; 48,21+44,08 > 47,59;
Клетка П1 Р3 38,85 +64,46 > 95,56; 27,15 + 64,46 > 73,33; 48,21 + 64,46 > 79,18;
клетка П1 Р4 38,85 + 50,46 > 84,46; 27,15 + 50,46 > 62,8; 48,21 + 50,46 > 68,65;
Клетка П2 Р1 54,16 + 44,08 > 33,55; 31,93 + 44,08 > 21,85; 52,59 + 44,08 > 42,9;
клетка П2 Р2 54,16 + 0 > 48,76; 31,93 + 0 > 26,53; 52,59 + 0 > 47,59;
Клетка П2 Р3 54,16 + 51,1 > 95,56; 31,93 + 51,1 > 73,33; 52,59 + 51,1 > 79,18;
клетка П2 Р4 54,16 + 40,57 > 84,46; 31,93 + 40,57 > 62,8; 52,59 + 40,57 > 68,65;
Клетка П3 Р1 87,66 + 50,46 > 33,55; 66,0 + 50,4 6 > 21,85; 71,85 + 50,46 > 42,9;
клетка П3 Р2 87,66 + 40,57 > 48,76; 66,0 + 40,57 > 26,53; 71,85 + 40,57 > 47,59;
Клетка П3 Р3 87,66 + 40,46 > 95,56; 66,0 + 40,46 > 73,33; 71,85 + 40,46 > 79,18;
клетка П3 Р4 87,66 + 0 > 84,46; 66,0 + 0 > 62,8; 71,85 + 0 > 68,65;
Клетка П4 Р1 58,01 + 49,23 > 33,55; 35,78 +49,93 > 21,85; 41,63 +49,93 > 42,91;
клетка П4 Р2: 58,01 + 25,36 > 48,76; 35,78 +25,36 > 26,53; 41,63 +25,36 > 47,59;
Клетка П4 Р3 58,01 + 72,16 > 95,56; 35,78 +72,16 > 73,33; 41,63 + 72,16 > 79,18;
клетка П4 Р4 58,01 + 58,85 > 84,46; 35,78 + 58,85 > 62,8; 41,63 + 58,85 > 68,65;
Клетка П5 Р2 60,08 + 48,76 > 48,76; 56,57 + 48,76 > 26,53; 35,51 +48,76 > 47,59;
клетка П5 Р3 60,08 + 74,5 > 95,56; 56,57 + 74,5 > 73,33; 35,51 + 74,5 > 79,18;
Клетка П5 Р4 60,08 + 63,97 > 84,46; 56,57 + 63,97 > 62,8; 35,51 + 63,97 > 68,65;
В соответствии с этими системами неравенств в клетки правой нижней части матрицы нужно поставить запрет М.
3.3 Нахождение оптимального плана перевозок
Исходный план составляется способом наименьшего показателя оптимальности. Этим способом заполняются сначала клетки всей правой (верхней и нижней одновременно) части матрицы. Избыток перерабатывающей способности пунктов перевалки заносится в клетки фиктивной диагонали левой нижней части матрицы, а затем способом наименьшего показателя оптимальности заполняются клетки левой верхней части матрицы. Загруженных клеток должно быть 17. Если таких клеток меньше, то необходимо дополнить их до этого числа, поставив в свободные клетки необходимое Число «искусственных нулей». исходный план, имеющий 17 загруженных клеток, является базисным. Этот план нужно проверить на выполнение условий оптимальности при решении транспортной задачи методом потенциалов. Как правило, исходный план не является оптимальным. Поэтому необходимо выполнить ряд последовательных итераций, чтобы получить оптимальный план.
Таблица 4 — Матрица задачи (исходный план)
134,41 149,72183,79153,57155,64139,64144,32191,12180,59111,94П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk95,56R138,85 а 0 54,16 а87,66 ж +0,57 54,71 а +3,3 60,08 а 033,55 а +10,5348,76 а 170 95,56 а 140 (-)84,46 ж +0,570 +16,3 8 310117,79R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 290 26,53 а73,33 а 50 (+)62,8 а 60 (-)0 +5,85 400 111,94R348,21 а52,59 а71,85 а 041,63 а 35,51 а +8,1942,91 а 47,59 а79,18 а 68,65 а 40 (+)0 (-) 90 130134,41П10 420 М М М М М М ММ М 420149,72П2М 0 250 М М М М М ММ М 250183,79П3М М 0 310 М М М М М М М 310153,57П4М М М0 400 М М М М М М 400155,64П5М М М М 0 180 М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Хул=60
Таблица 5 — результат первой итерации
134,41 149,72167,41153,57155,64139,64144,32191,12164,2195,56П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk95,56R138,85 а 0 54,16 а87,66 ж 54,71 а +3,3 60,08 а 033,55 а +10,5348,76 а 170 95,56 а 80 (-)84,46 ж 0 60 (+) 310117,79R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 290 26,53 а73,33 а 11062,8 а 0 400 95,56R348,21 а52,59 а +1,5771,85 а 041,63 а +16,3835,51 а 42,91 а +1,1747,59 а +1,1779,18 а +16,3868,65 а 1000 (-) 30 130134,41П10 420 М М М М М М ММ М 420149,72П2М 0 250 М М М М М ММ М 250167,41П3М М 0 310 М М М М М М М 310153,57П4М М М0 400 М М М М М М 400155,64П5М М М М 0 180 М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Хул= 30
Таблица 6 — результат второй итерации
134,41 149,72183,79153,57155,64139,64144,32191,12180,5995,56П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk95,56R138,85 а 0 54,16 а87,66 ж +0,57 54,71 а +3,3 60,08 а 033,55 а +10,53 (+)48,76 а 170 95,56 а 50 (-) 84,46 ж +0,570 90 310117,79R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 290 (-) 26,53 а73,33 а 110 (+)62,8 а 0 400 111,94R348,21 а52,59 а71,85 а 041,63 а 35,51 а +8,1942,91 а 47,59 а79,18 а 3068,65 а 1000 130134,41П10 420М М М М М М ММ М 420149,72П2М 0 250М М М М М ММ М 250183,79П3М М 0 310М М М М М М М 310153,57П4М М М0 400М М М М М М 400155,64П5М М М М 0 180М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Хул= 50
Таблица 7 — результат третий итерации
112,18 116,96151,03120,81133,41106,88122,09158,36147,8373,33П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk73,33R138,85 а 0 54,16 а87,66 ж 54,71 а 60,08 а 0 (-)33,55 а 50 (+)48,76 а 170 95,56 а 84,46 ж 0 90 31085,03R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 240 (-)26,53 а +10,5373,33 а 160 (+)62,8 а 0 +5,85 400 79,18R348,21 а52,59 а 71,85 а 041,63 а 35,51 а +18,7242,91 а 47,59 а79,18 а 30 (-)68,65 а 1000 130112,18П10 420 М М М М М М ММ М 420116,96П2М 0 250 М М М М М ММ М 250151,03П3М М 0 310М М М М М М М 310120,81П4М М М0 400М М М М М М 400133,41П5М М М М 0 180М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Хул= 0
Таблица 8 — результат четвертой итерации
112,18 116,96151,03120,81114,69106,88122,09158,36147,8373,33П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk73,33R138,85 а 0 54,16 а87,66 ж 54,71 а 60,08 а 33,55 а 50 (+)48,76 а 170 (-)95,56 а 84,46 ж 0 90 31085,03R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 240 (-)26,53 а +10,5373,33 а 160 62,8 а 0 400 79,18R348,21 а52,59 а 71,85 а 041,63 а 35,51 а 042,91 а 47,59 а79,18 а 3068,65 а 1000 130112,18П10 420М М М М М М ММ М 420116,96П2М 0 250М М М М М ММ М 250151,03П3М М 0 310 М М М М М М М 310120,81П4М М М0 400 М М М М М М 400114,69П5М М М М 0 180 М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Хул= 170
Таблица 9 — оптимальный план
112,18 116,96151,03120,81114,69106,88122,09158,36147,8373,33П1П2П3П4П5Р1Р2Р3Р4Рфаi qk73,33R138,85 а 054,16 а87,66 ж 54,71 а 60,08 а 33,55 а 22048,76 а 95,56 а 84,46 ж 0 90 31085,03R227,15 а31,93 а 066,0 а35,78 а 056,57 а21,85 а 7026,53 а 17073,33 а 16062,8 а 0 400 79,18R348,21 а52,59 а71,85 а 041,63 а 35,51 а 042,91 а 47,59 а79,18 а 3068,65 а 1000 130112,18П10 420М М М М М М ММ М 420116,96П2М 0 250М М М М М ММ М 250151,03П3М М 0 310М М М М М М М 310120,81П4М М М0 400М М М М М М 400114,69П5М М М М 0 180М М М М М 180qk bj 420 250 310 400 180 290 170 190 100 90 2400
Сокращение затрат на перевозки по оптимальному плану по сравнению с исходным планом:
Затраты на перевозки по исходному плану определяются из выражения (1):
Затраты на перевозку по оптимальному плану:
Сокращение затрат на перевозки:
ΔС = 38184,6-34393,8 = 3790,8 тыс. руб/год.
На основании полученного оптимального плана вычерчивается схема оптимальных транспортных связей.
рисунок 2 — Схема оптимальных транспортных связей
— автомобильные перевозки
Заключение
В данной курсовой работе был определен средний расход на перевозку 1 т груза по участкам транспортной сети для различных видов транспорта. Определен кратчайший путь доставки груза: из пунктов отправления в пункты потребления, из пунктов отправления в пункты перевалки и из пунктов перевалки в пункты потребления. Был составлен оптимальный план распределения перевозок между различными видами транспорта с учетом возможности перевалки груза с одного вида транспорта на другой. По проведённым расчётам получилось, что для заданного объёма перевозок груза, самыми оптимальными по стоимости перевозки, являются прямые направления без перевалки груза.
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Оптимальное распределение перевозок в узле между тремя видами транспорта: методическое пособие. — Новокузнецк: СибГИУ, 1996. — 27 стр.
. Правдин Н.В., Негрей В.Я., Подкопаев В.А. Взаимодействие различных видов транспорта : примеры и расчеты /Под ред. Н.В. Правдива. -М.: Транспорт, 1989. — 208 стр.
. Тихончук Ю.Н, Елисеева Т.В., Каяшев А.В. Рациональное, распределение, грузовых перевозок между железнодорожным и автомобильным транспорт. -М.: Транспорт, 1972. -136 стр.
. Сопоставимые Издержки разных видов транспорта при перевозке грузов /Под ред. В.И. Дмитриева , КМ. Шишке. — М.: Транспорт, 1972.-488 стр.
. Белов И.В., Каплан А.В. Математические методы в планировании на железнодорожном транспорта. -М.: Транспорт, 1972.-248 стр.