Учебная работа. Метод Форда

метод Форда

Введение

В данной курсовой работе мы рассмотрим метод Форда и определим кратчайший маршрут решения задачи. Алгоритм Форда, необходим для решения сетевой транспортной задачи. Большое внимание уделим достижению конечного результата, который производится в 4 этапа. Излагаемые этапы иллюстрируются схемами и графиками. выбранная мною эта тема, достаточно актуальная в наши дни. Этот метод интересен инженерам, экономистам и научным работникам, интересующихся применением математики к обоснованию оптимальных решений.

1. Постановка сетевой транспортной задачи

На практике часто встречается задача определения кратчайшего маршрута по заданной сети из начального пункта до конечного пункта маршрута. Транспортная сеть может быть представлена в виде графа (рис.1), дуги которого — транспортные магистрали, а узлы — пункты отправления и назначения. Графически транспортная сеть изображается в виде совокупности n пунктов P1,P2,…,Pn, причем некоторые упорядоченные пары (Pi,Pj) пунктов назначения соединены дугами заданной длинны r(Pi,Pj)=lij. некоторые или все дуги могут быть ориентированы, т.е. по ним возможно движение только в одном направлении, указанном стрелками.

На рис.1 построена ориентированная транспортная сеть, содержащая шесть пунктов P1,P2,…,P6, которые связаны между собой восьмью транспортными путями.

необходимо определить кратчайший маршрут из пункта P1 в P6. Определение кратчайшего маршрута состоит в указании последовательности прохождения маршрута через промежуточные пункты и суммарной длинны маршрута.

Например, маршрут из пункта P1 в пункт P6: P1P2P4P6; L=l12+l24+l46=10.

Постановка задачи приобретает смысл в том случае, если имеется несколько вариантов маршрута из начального пункта в конечный. В этом случае физический смысл функции цели задачи состоит в минимизации общей длины маршрута, т.е. в определении кратчайшего пути из P1 в Pn.

2. Описание метода и алгоритма решения

Метод Форда бал разработан специально для решения сетевых транспортных задач и основан, по существу, на принципе оптимальности.

алгоритм метода Форда содержит четыре этапа (схема 1). На первом этапе производится заполнение исходной таблицы расстояний от любого i-го пункта в любой другой j-й пункт назначения. На втором этапе определяются для каждого пункта некоторые параметры li и lj по соответствующим формулам. далее на третьем этапе определяются кратчайшие расстояния. наконец, на четвертом этапе определяются кратчайшие маршруты из пункта отправления Р1 в любой другой пункт назначения Рj, j=1,2,…,n.

рассмотрим подробнее каждый из этих четырех этапов.

2.1 Первый этап: Составление исходной таблицы расстояний

Данная таблица содержит n+1 строк и такое же количество столбцов; Pi — пункты отправления; Pj — пункты назначения. Во второй строке и втором столбце проставляется значения параметров li иlj, определение значений которых производятся на втором этапе решения задачи. В остальных клетках таблицы проставляются значения расстояний lij из i-го пункта в j-й пункт. причем заполняем клетки таблицы, лежащие выше главной диагонали. Если пункт Pi не соединен отрезком пути с пунктом Pj, то соответствующая клетка таблицы не заполняется.

2.2 второй этап: Определение li и lj

Определяется значение параметров в соответствии с формулой:

lj=min(li+lij); i=1,2,…,n; j=1,2,…,n, (1)

где l1=0.

Эти значения заполняются во второй строке и во втором столбце.

возможны два случая определения длинны кратчайших путей из пунктов Pi в пункты Pj, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

В первом случае, если выполняются неравенство:

lj — li £ lij; lij¹0; j=1,2,…,n; j=1,2,…,n, (2)

то значения параметров l1,…,ln удовлетворяют условиям оптимальности. Каждое пункта Pi до пункта Pj, j=2,3,…,n.

Во втором случае, если для некоторых клеток (i,j) таблицы имеет место неравенство:

lj — li > lij; i=1,…,n; j=1,…,n, (3)

то значения lj и li могут быть уменьшены.

Если справедливо (3), тогда исправим

l¢j0=li0+li0j0. (4)

2.4 четвертый этап: Нахождение кратчайшего пути

Определения последовательности пунктов кратчайшего маршрута. С этой целью для каждого столбца определяют величину:

lr1,j = lj — lr1, (5)

где lr1,j берется из таблицы, причем lr1 выбирается так, чтобы выполнилось равенство (5). таким образом определим r1. Далее продолжим ту же операцию, но будем считать, последней не Pn, а Pr1. Будем продолжать до тех пор, пока rn=1.

таким образом, кратчайший маршрут проходит через Pr1,Pr2,…,Prn, а длинна маршрута Lmin=lr2,r1+lr3,r2+…+lrn-1,rn.

Рис. 1

3. Описание программы

Программа FORD написана на языке высокого уровня — Pascal, в интегрированной среде разработки Turbo Pascal 7.0 фирмы Borland Inc.

Программа предназначена для нахождения кратчайшего пути в сетевом графе по методу Форда. Программа легка в использовании, что достигается за счет использования дружественного интерфейса и иерархического меню. Вначале программы производится ввод данных, затем нахождение кратчайшего маршрута и вычисление его длинны, далее выводится результат. Вывод результатов возможен как в файл, так и на экран.

В программе предусмотрена возможность повторного решения задачи с другими исходными данными.

.1 Подпрограммы и функции

ТИПНАЗВАНИЕНАЗНАЧЕНИЕFunction type : realmin;Вычисляет минимальное значение вектора k[i];Procedureset_graph_mode;Устанавливает графический режим;Procedureinstall_Firewall;Инициализирует огонь;Procedurefire;Процедура рисования огня;Procedureok;Выводит сообщение о корректности операции;Procedurenotok;Выводит сообщение о некорректности операции;Procedurecheck_input_data;проверяет корректность ввода данных;Procedurekeybord_input;Ввод исходных данных с клавиатуры;Procedureramka;Выводит рамку по краям экрана;Proceduresave;Сохранение результатов в файл;Procedureabout_program;Выводит информацию о программе;Procedureabout_method;Выводит информацию о методе Форда;Procedureoutput_graph;Рисует вершины графа;Proceduredraw_ways;Рисует дуги графа;Proceduredraw_short_way;рисует кратчайший маршрут;Procedurecount_point_coord;Вычисляет экранные координаты вершин графа;Procedureset_font;Инициализирует шрифт пользователя;Procedurecalculate;Основное математическое ядро программы;Proceduredraw_menu;Открытие меню;Procedureredraw_menu;Закрытие меню;Proceduremain_menu;основной механизм меню;Procedurepixel;Ставит точку;Procedurestars;Инициализирует массив со звездами;Procedurewelcomescreen;Заставка;

4.2 Таблица идентификаторов

ИМЯТИПНАЗНАЧЕНИЕКонстантыmenuarray of stringОписывает меню программыmenuofarray of byteОписывает меню программыmenugoarray of byteОписывает меню программыname1stringИмя файла входных данныхname2stringИмя файла выходных данныхxxxwordРазмер огня по хyyywordРазмер огня по уxx1wordКоордината х огняyy1wordКоордината у огняmessizebyteРазмер заглавияtitlearray of stringЗаглавиеПеременныеmasarray of realОсновная матрица вычисленийcoord_pointarray of realКоординаты вершин графаiintegerПеременная для организации циклаjintegerПеременная для организации циклаtintegerИспользуется при расчете путиmintegerСчетчик кол-ва вершин в крат. ПутиnintegerКол-во вершин в графеzintegerКод ошибкиx1integerИсп. в процедуре вывода на экранy1integerИсп. в процедуре вывода на экранx2integerИсп. в процедуре вывода на экранy2integerИсп. в процедуре вывода на экранkkintegerПромежуточное значениеiiiintegerПромежуточное значениеxintegerКоордината х конца отрезкаyintegerКоордината у конца отрезкаlenthintegerКол-во вершин в кратчайшем маршрутеchrusintegerНомер шрифта пользователяz1integerНомер графического драйвервz2integerНомер графического режимаkarray of realИспользуется для нахождения минимумаresultarray of integerНомера вершин, которые входят в кратчайший маршрутerror_codearray of byteКоды ошибок при вводе данныхfire1array of byteХранит цвета огняfire2array of byteМатрица промежуточных данныхaarealИспользуется при вычислении координат вершин графаpi1realИспользуется при вычислении координат вершин графаsrealХранит промежуточное значениеlbooleanИсп. при определении кратчайшего маршрутаinputdatabooleanTRUE, если данные вводилисьcalculatedatabooleanTRUE, если данные били обработаныmovbooleanИспользуется в процедуре менюostringИспользуется при вводе с клавиатурыtempbyteХранит временное значениеcursorbyteКоординаты курсора менюlastcursorbyteПоследние координаты курсора менюmenulevelbyteУровень менюnlinebyteКол-во строк в текушем уровне менюpressedcharИспользуется при вводе с клавиатурыf1textФайловая переменнаяf2textФайловая переменная

5. Примеры решения контрольных задач

исходная таблица расстояний для одного из вариантов ранжированного графа:

Pi/Pj1234561X532X253X774X35X26Xтранспортный задача программа ford

После обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты: кратчайший маршрут: 1-2-4-6, длина кратчайшего маршрута: 10

исходная таблица расстояний для одного из вариантов не ранжированного графа:

Pi/Pj1234561X1622X138X42X5513X96X

после обработки таблицы с заданными исходными данными, программа выдает следующие результаты:

кратчайший маршрут: 1-5-4-2-6

длинна кратчайшего маршрута: 8

программа работоспособна при любых других вариантах исходных данных.

Заключение

Анализ алгоритма операций, необходимых при решении сетевой транспортной задачи методом Форда в заданной постановке подтверждает:

Достижение конечного результата производится в четыре этапа.

Каждый этап описывается простыми математическими операциями и может быть записан на одном из языков программирования.

Составлена программа на алгоритмическом языке высокого уровня Pascal, позволяющая решать задачу в диалоговом режиме, удобном для пользователя не программиста.

Алгоритм решения транспортной задачи методом Форда является универсальным, что позволяет производить расчёты как с ранжированными, так и с не ранжированными графами. Возможность реализаций для удобства работы пользователя в программе сервисной части.

Список используемой литературы

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций» М.: Сов. Радио 1972 г.

. Захаров В.Н. «Алгоритмические методы решения задач оптимального планирования и управления» ВАД. 1986 г.

. Зубов В.С. «Программирование на языке Turbo Pascal» М.: Филин 1997 г.

Учебная работа. Метод Форда