Учебная работа. Мультиколлинеарность и ее эффекты

Мультиколлинеарность и ее эффекты

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Мультиколлинеарность и ее эффекты»

Содержание

Введение

1. Аналитическая часть

1.1 Теоретический обзор подходов к области множественной регрессии

1.2 Инструментарий эконометрического исследования в области мультиколлинеарности: методы устранения мультиколлинеарности

2. Проектная часть

2.1 Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования мультиколлинеарности: исследование на мультиколлинеарность факторов, влияющих на Прибыль при предоставлении услуг в области добычи сырой нефти и природного газа

2.2 Пример эконометрического исследования мультиколлинеарности и ее устранение: исследование на мультиколлинеарность факторов, влияющих на зависимость курса доллара США с курсами евро, японской иены и английского фунта стерлингов и построение множественной регрессии с информативными факторами

Заключение

список используемых источников

Введение

С тех пор как Экономика стала серьезной самостоятельной наукой, исследователи пытаются прогнозировать ту или иную ситуацию, предусмотреть будущие значения экономических показателей, предложить инструменты изменения ситуации в желаемом направлении. Политики или управляющие производством, выбирая одну из возможных стратегий, получают определенный результат. Плох он или хорош и можно было достичь лучшего результата, проверить очень трудно. экономическая ситуация практически никогда не повторяется в точности, следовательно, невозможно применить две стратегии при тех же условиях с целью сравнения конечного результата. Поэтому одной из основных задач экономического анализа является моделирование развития экономических явлений и процессов при создании тех или иных условий. Поняв глубинные движущие силы исследуемого процесса, можно научиться рационально, управлять им. Применение математических методов в экономике позволяет выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов, а также индуктивным путем получить новые знания об объекте. кроме того, на языке математики можно точно и компактно отображать утверждение экономической теории, формулировать ее понятия и выводы. критерием истины для любой теории является практика. В частности, практика экономической деятель отражается в статистической информации. Сочетание экономической теории с практическими результатами является краеугольным камнем эконометрии.

Актуальность выбранной темы определяется тем, что в эконометрике широко применяются нелинейные регрессионные модели. Во многих практических задачах прогнозирования, изучая различного рода связи в экономических, производственных системах, необходимо на основании экспериментальных данных выразить зависимую переменную в виде некоторой математической функции от независимых переменных — регрессоров, то есть построить регрессионную модель. Регрессионный анализ позволяет:

производить расчет регрессионных моделей путем определения значений параметров — постоянных коэффициентов при независимых переменных — регрессорах, которые часто называют факторами;

-проверить гипотезу об адекватности модели имеющимся наблюдениям;

использовать модель для прогнозирования значений зависимой переменной при новых или ненаблюдаемых значениях независимых переменных.

Целью курсовой работы явилось исследование регрессионного анализа и применение его в эконометрике. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

-изучение основных положений регрессионного анализа

-рассмотрение оценки параметров множественной регрессионной модели

-исследование в области мультиколлинеарности

изучение методов устранения мультиколлинеарности

-рассмотрение практических задач

объект исследования курсовой работы — практическая задача по применению регрессионного анализа в эконометрике.

Информационную базу составили труды отечественных ученых-экономистов в области эконометрических исследований, публикации, Интернет источники и личные наблюдения автора.

Работа выполнена в программе Excel, проведены регрессионный и корреляционный анализы.

1. Аналитическая часть

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных . Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

1.1 Теоретический обзор подходов к области множественной регрессии

Множественная регрессиясвязь между переменными и т.е. модель вида:

где — зависимая переменная (объясняемая переменная, результативный признак);

— независимые объясняющие переменные;

— возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модель факторов;

— число параметров при переменных

Модель, в которой зависимая переменная , объясняющие переменные и возмущения u, удовлетворяющие условиям теоремы Гауса-Маркова, и, кроме того, предпосылке о не вырожденности матрицы (независимости столбцов) значений объясняющих переменных, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии (ClassicNormalLinearMultipleRegressionmodel) [5]

мультиколлинеарность эконометрика регрессионный анализ

Уравнение множественной линейной регрессиив случае независимых переменных имеет вид . Поэтому одна из основных целей при построении множественной регрессии состоит в определении влияния каждой в отдельности объясняющей переменной, входящей в уравнение, и их совокупности на моделируемый показатель.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов. Строится система нормальных уравнений:

(1.1)

Решение данной системы уравнений позволяет получить оценки параметров регрессии с помощью метода определителей

…,

где — определитель системы;

частные определители, получаемые путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части системы.

Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние каждой входящей в уравнение переменной на результат, когда другие переменные неизменны. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии рассчитывать частные коэффициенты эластичности:

(1.2)

и средний коэффициент эластичности, показывающийна сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующий переменной на 1%:

(1.3)

Сравнивая между собой полученные средние коэффициенты эластичности, можно тем самым ранжировать влияние объясняющих переменных на результат.

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными, называется корреляционным анализом [2]

В корреляционном анализе для оценивания силы линейной зависимости объясняемой переменной Y от потенциальных объясняющих переменных x1, x2,., xm множественной эконометрической модели рассчитываются коэффициенты корреляции, которые записываются в виде вектора корреляции R0.

Оценивание зависимости межу между потенциальными объясняющими переменными x1, x2,., xm (парная корреляция) записываются в виде матрицы корреляции R.

Тесноту влияния всех объясняющих переменных на результат позволяет определять коэффициент (индекс) множественной корреляции.

Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной корреляции может быть определен либо через матрицу парных коэффициентов корреляции, либо по формуле.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов.

Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент множественной корреляции, рассчитываемый как:

(1.4)

качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации, который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: Коэффициент множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Если число параметров при близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции, который содержит поправку на число степеней свободы:

(1.5)

где k — число объясняющих переменных.

Чем больше k, тем сильнее различия и

Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется аналогично случаю парных коэффициентов корреляции. Единственным отличием является число степеней свободы, которое следует брать равным

?=n-k-2,

где n — число элементов в выборке,- количество регрессоров.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью критерия Фишера, рассчитываемого по формуле:

(1.6)

(1.7)

Если фактическое чистой регрессии при факторе () статистически значим. Если же фактическое случае статистически незначим [11]

Для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента используется формула:

(1.8)

где — коэффициент чистой регрессии при факторе ();

— средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии которая может быть определена по формуле:

(1.9)

При дополнительном включении в регрессию нового фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если это не так, то включаемый в анализ новый фактор не улучшает модель и практически является лишним. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по -критерию Стьюдента.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляциимежду факторами. Чем ближе определитель матрицы межфакторной корреляциик 0 (нулю), тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе определительк 1, тем меньше мультиколлинеарность факторов [15]

Выполнив спецификацию линейной множественной эконометрической модели, включающую n факторов, следует выяснить, какие из них вносят существенный вклад в объяснение результата, а какие можно в силу их малого влияния на результат исключить из полученной модели. рассмотрим несколько вариантов подбора объясняющих переменных множественной линейной модели. Имеется множественная линейная эконометрическая модель, спецификация которой представлена в виде:

yi= a1∙xi1 + a2∙xi2 + a3∙xi3 + … + amxim+ ei, (1.10)

i = 1, …,n,

где

m — число параметров модели;

n — объем выборки;i — объясняемая переменная в наблюдении i;

xim — объясняющая переменная в наблюдении i;

ei — случайное возмущение в наблюдении i;

Матричная форма спецификации модели имеет вид:

(1.11)

где

= (y1, y2, y3, …, yn) T — вектор-столбец значений объясняемой (эндогенной) переменной;

— детерминированная матрица объясняющих переменных;

= (a1, a2, a3, …, am) T — вектор столбец параметров модели;

= (u1, u2, u3, …, um) T — вектор-столбец случайных возмущений.

С формальной точки зрения, объясняющие переменные в линейной эконометрической модели должны обладать следующими свойствами:

иметь высокую вариабельность;

быть сильно коррелированными с объясняемой переменной;

быть слабо коррелированными между собой;

быть сильно коррелированными с представляемыми ими другими переменными, не используемыми в качестве объясняющих.

Объясняющие переменные подбираются с помощью статистических методов. Процедура подбора переменных состоит из следующих этапов:

. На основе накопленных знаний составляется множество, так называемых, потенциальных объясняющих (первичных) переменных, в которое включаются все важнейшие величины, влияющие на объясняемую переменную (y), т.е. переменные x1, x2,., xт.

2. Собирается статистическая информация о реализациях, как объясняемой, так и потенциальных объясняющих переменных.

. Формируется вектор наблюдаемых значений переменной (y) и матрица X наблюдаемых значений переменных x1, x2,., xт в виде, представленном в пояснении к формуле (1.8)

. Исключаются потенциальные объясняющие переменные, характеризующиеся слишком низким уровнем вариабельности.

. Рассчитываются коэффициенты корреляции между всеми рассматриваемыми переменными.

. Множество потенциальных объясняющих переменных редуцируется с помощью выбранной статистической процедуры [3]

Для оценивания методом наименьших квадратов параметров линейной множественной эконометрической модели вида:

y=a0+a1∙x1 + a2∙x2 +. + аkxk + u (1.12)

используем матричные записи, введя следующие обозначения:

— вектор наблюдаемых значений объясняемой переменной;

Х = — матрица наблюдаемых значений объясняющих переменных;

— вектор оценок параметров модели;

— вектор случайных остатков.

С учетом введенных обозначений критерий наименьших квадратов можно представить в форме:

(1.13)

где

(1.14)

Выражение для вектора оценок параметров модели имеет вид:

. (1.15)

Дисперсия случайных отклонений оценивается по формуле

(1.16)

Матрица дисперсии и ковариации оценок параметров оценивается по формуле

(1.17)

В матрице дисперсии элементы, лежащие на главной диагонали, представляют собой дисперсии V (a,), i= 0, 1,., k оценок параметров модели. Величины

, (1.18)

это стандартные погрешности оценивания параметров [5]

1.2 Инструментарий эконометрического исследования в области мультиколлинеарности: методы устранения мультиколлинеарности

Коллинеарность и мультиколлинеарность

Термин «коллинеарность» характеризует линейную связь между двумя объясняющими переменными. «Мультиколлинеарность» означает линейную связь между более чем двумя объясняющими переменными.

На практике всегда используется один термин — мультиколлинеарность.

Термин «мультиколлинеарность» введен Рагнаром Фришем

рассматривают два вида мультиколлинеарности:

·Строгая мультиколлинеарность — наличие линейной функциональной связи между объясняющими переменными (иногда также и зависимой).

·Нестрогая мультиколлинеарность — наличие сильной линейной корреляционной связи между объясняющими переменными (иногда также и зависимой).

Если регрессоры в модели связаны строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Данный вид мультиколлинеарности может возникнуть, например, в задаче линейной регрессии, решаемой методом наименьших квадратов, если определитель матрицы будет равен нулю. Полная мультиколлинеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в выходную переменную по результатам наблюдений [14]

В задачах с реальными данными случай полной мультиколлинеарности встречается крайне редко. Вместо этого в прикладной области часто приходится иметь дело с частичной мультиколлинеарностью, которая характеризуется коэффициентами парной корреляции между регрессорами. В случае частичной мультиколлинеарности матрица будет иметь полный ранг, но ее определитель будет близок к нулю. В этом случае формально можно получить оценки параметров модели и их точностные показатели, но все они будут неустойчивыми.

среди последствий частичной мультиколлинеарности можно выделить следующие:

-увеличение дисперсий оценок параметров;

-уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости;

-возможность получения неверного с точки зрения теории знака у оценки параметра

точные количественные критерии для обнаружения частичной мультиколлинеарности отсутствуют. В качестве признаков ее наличия чаще всего используют следующие:

1.Превышение некого порога модулем парного коэффициента корреляции между регрессорами и

.Близость к нулю определителя матрицы

.большое количество статистически незначимых параметров в модели

причины возникновения мультиколлинеарности:

-в модель включены факторные признаки, характеризующие одну и ту же сторону явления;

-уравнение регрессии содержит в качестве факторных признаков такие показатели, суммарное значение которые представляет собой постоянную величину;

-в модели использованы факторные признаки, являющиеся составными элементами друг друга;

-в моделирующую функцию включены факторные признаки, по смыслу дублирующие друг друга.

проблема мультиколлинеарности является обычной для регрессии временных рядов, т.е. когда данные состоят из ряда наблюдений в течение некоторого периода времени. Если две или более объясняющие переменные имеют ярко выраженной временной тренд, то они будут тесно коррелированы, и это может привести к мультиколлинеарности [17]

Если среди парных коэффициентов корреляции независимых переменных существуют такие, значение которых приближается или равно множественному коэффициенту корреляции, то это говорит о возможности существования мультиколлинеарности.

Если в эконометрической модели получено малое значение параметра при большом коэффициенте детерминации и при этом — критерий существенно отличается от нуля, то это говорит о наличии мультиколлинеарности.

Методы исследования мультиколлинеарности

1.Нахождение и анализ корреляционной матрицы

Стохастическая связь между переменными характеризуется величиной коэффициента корреляции между ними. Чем ближе по абсолютной величине случае, если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить нет ли среди них коррелированных между собой. Для этого формируется матрица коэффициентов парной корреляции, которая является симметричной и называется корреляционной матрицей. Она имеет вид:

, (1.19)

, (1.20)

где — коэффициенты парной корреляции между переменной и одним из факторов, — коэффициенты парной корреляции между факторами, которые вычисляются по формуле

, (1.21)

где , , .

анализ корреляционной матрицы позволяет оценить, во-первых, степень влияния отдельных факторов на результативный показатель, во-вторых, взаимосвязь факторов между собой [5]

Если коэффициенты парной корреляции между некоторыми факторами близки к единице, это указывает на тесную взаимосвязь между ними, т.е. на наличие мультиколлинеарности. В этом случае один из факторов необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения. Встает вопрос, какой именно. Это зависит от конкретной ситуации. Чаще всего для моделирования оставляют тот фактор, который с экономической точки зрения более весом для изучаемого процесса. Можно также оставить фактор, который имеет большее влияние на результативный показатель (т.е. коэффициент корреляции которого с результативным показателем больше). Такого рода анализ проводится для каждой пары факторов. Результатом анализа корреляционной матрицы является установление группы факторов, мало зависимых между собой — они и должны входить в модель.

2.Вычисление определителя корреляционной матрицы

Если в модели больше двух факторов, вопрос о мультиколлинеарности не может ограничиваться информацией, которую дает корреляционная матрица. более широкая проверка предусматривает вычисление определителя матрицы . Если , то существует полная мультиколлинеарность. Если , то мультиколлинеарности нет. Чем ближе к нулю, тем увереннее можно утверждать о существовании между переменными мультиколлинеарности.

3.Метод Феррара-Глаубера

Для исследования общей мультиколлинеарности и мультиколлинеарности между отдельными факторами используется корреляционная матрица , вычисляемая по формуле (1.2).

Для исследования общей мультиколлинеарности используется критерий . Рассчитывается величина

, (1.22)

имеющая — распределение с степенями свободы.

По данной надёжности и числу степеней свободы находят табличное между объясняющими переменными отсутствует.

Если , то с заданной надёжностью можно считать, что между факторами существует общая мультиколлинеарность.

далее исследуется, какая объясняющая переменная порождает мультиколлинеарность, и решается вопрос об ее исключении из дальнейшего анализа.

Для выяснения вопроса, между какими факторами существует мультиколлинеарность, используется статистика или статистика. Для этой цели используют частные коэффициенты парной корреляции между объясняющими переменными, которые вычисляют по формуле

, (1.23)

где — элементы обратной матрицы .

В качестве критерия используется величина

, (1.24)

имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы.

По таблицам Стьюдента находят критическое значение . Сравнивают критическое значение с расчетным :

-если, то между объясняющими переменными и коллинеарности нет.

-если , то между объясняющими переменными и существует значительная коллинеарность.

2. Проектная часть

2.1 Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования мультиколлинеарности: исследование на мультиколлинеарность факторов, влияющих на Прибыль при предоставлении услуг в области добычи сырой нефти и природного газа

Выделяют семь основных этапов эконометрического моделирования:

) постановочный этап, в процессе осуществления которого определяются конечные цели и задачи исследования, а также совокупность включённых в модель факторных и результативных экономических переменных. При этом включение в эконометрическую модель той или иной переменной должно быть теоретически обоснованно и не должно быть слишком большим. Между факторными переменными не должно быть функциональной или тесной корреляционной связи, потому что это приводит к наличию в модели мультиколлинеарности и негативно сказывается на результатах всего процесса моделирования;

) априорный этап, в процессе осуществления которого проводится теоретический анализ сущности исследуемого процесса, а также формирование и формализация известной до начала моделирования (априорной) информации и исходных допущений, касающихся в частности природы исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез;

) этап параметризации (моделирования), в процессе осуществления которого выбирается общий вид модели и определяется состав и формы входящих в неё связей, т.е. происходит непосредственно моделирование.

К основным задачам этапа параметризации относятся:

а) выбор наиболее оптимальной функции зависимости результативной переменной от факторных переменных. При возникновении ситуации выбора между нелинейной и линейной функциями зависимости, предпочтение всегда отдаётся линейной функции, как наиболее простой и надёжной;

б) задача спецификации модели, в которую входят такие подзадачи, как аппроксимация математической формой выявленных связей и соотношений между переменными, определение результативных и факторных переменных, формулировка исходных предпосылок и ограничений модели.

) информационный этап, в процессе осуществления которого происходит сбор необходимых статистических данных, а также анализируется качество собранной информации;

) этап идентификации модели, в ходе осуществления которого происходит статистический анализ модели и оцененивание неизвестных параметров. Данный этап непосредственно связан с проблемой идентифицируемостимодели, т.е. ответа на вопрос «возможно ли восстановить значения неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным в соответствии с решением, принятым на этапе параметризации?». После положительного ответа на этот вопрос решается проблема идентификации модели, т.е. реализуется математически корректная процедура оценивания неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным;

) этап оценки качества модели, в ходе осуществления которого проверяется достоверность и адекватность модели, т.е. определяется, насколько успешно решены задачи спецификации и идентификации модели, какова точность расчётов, полученных на её основе. Построенная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. Если качество модели является неудовлетворительным, то происходит возврат ко второму этапу моделирования;

) этап интерпретации результатов моделирования.

Информационное обеспечение эконометрического исследования мультиколлинеарности в эконометрических моделях множественной регрессии включает входную, промежуточную и результативную информацию.

В качестве входной информации используются любые статистически верные данные, отражающие конкретное событие. В данной работе, в качестве входной информации использованы сведения об анализе факторов, влияющих на Прибыль при предоставлении услуг в области добычи сырой нефти и природного газа. таким образом, исследование проводится по 50 наблюдениям, что обеспечивает более точные результаты.

Для построения и анализа множественной линейной регрессии будет рассмотрена следующая задача: Ведущему экономисту открытого акционерного общества «Геолого-разведочный исследовательский центр», поступило указание от совета директоров, разработать стратегию развития для компании в направлении предоставление услуг в области добычи сырой нефти и природного газа. Для разработки указанной стратегии, он собрал информацию о работе в данной области различных компаний и определил факторы, влияющие на Прибыль: долгосрочные обязательства, краткосрочные обязательства, оборотные активы и основные средства.

Промежуточная информация получается в результате преобразования входной информации, но она не является конечным результатом, а играет вспомогательную роль. В эконометрическом исследовании мультиколлинеарности к промежуточной информации относятся полученные на разных этапах исследования данные, представленные в графическом виде, данные о зависимости показателей, показатели качества модели, параметры регрессии, интерпретация полученных параметров, коэффициенты качества и значимости модели и прочее.

Результатная информация включает в себя промежуточную информацию, на основании которой составляются выводы о наличии мультиколлинеарности в между выбранными факторами.

Информационное и методологическое обеспечение адаптировано на основе таких авторов как Новиков А.И., Бородич С.А., Бэрнд Э.Р., Мангус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Балаш В.А., Харламов А.В., Елисеева И. И.

Разработанная методика эконометрического исследования включает в себя следующие этапы:

)Спецификация

.1) Графический анализ исходных данных

1.2) Выбор модели регрессии

2)Параметризация

2.1) Оценка и интерпретация параметра

.2) Оценка и интерпретация параметра

3)Верификация

.1) Экспресс-верификация

.3) исследование мультиколлинеарности

3.3.1) Графический анализ

3.3.2) Матрица парных коэффициентов корреляции

.3.3) Расчет частных коэффициентов корреляции

.3.4) Пошаговый метод включения (исключения)

3.4) методы устранения мультиколлинеарности

1) На этапе спецификации происходит выбор формулы связи переменных уравнения регрессии.

1.1) Графический анализ исходных данных

В случае парной регрессии выбор функции обычно осуществляется по графическому изображению реальных статистических данных в виде точек в декартовой системе координат, которое называется корреляционным полем (диаграммой рассеивания). На основании построенной диаграммы выбирается наиболее подходящая форма функциональной связи.

1.2) Выбор модели регрессииосновывается на построении графика зависимости переменных, построении линии тренда и определении коэффициента детерминации (). Для этого необходимо в программе MSExcel исходные данные представить в табличном виде и на их основе создатьточечную диаграмму. Далее с помощью команды «Добавить линию тренда», на графике отражается линия тренда, а так же с помощью определенных команд на графике появляется уравнение и коэффициент детерминации (), характеризующий зависимость Y отx. Для выбора модели, наиболее точно описывающей событие, необходимо добавить помимо линейной линии тренда экспоненциальную, логарифмическую, степенную и полиномиальную линии тренда. То уравнение, которому соответствует наибольшее наиболее точно описывающую исходные данные.

2) Этап параметризации включает в себя построение линейной регрессии, оценивание ее параметров и их значимости. Значительно быстрее это выполнить при использовании пакета анализа MSExcel (программа «Регрессия»).

Для осуществления автоматического расчета необходимо выбратьв меню анализа данных инструмент «регрессиядальнейшего анализа необходимо отметить галочкой поля остатки, график остатков и график подбора.

Результаты анализа появятся на новом листе или книге, в зависимости от соответствующего выбора.

Для оценки параметров и , в полученных результатах анализа понадобится третья таблица, в которой указаны:

.Коэффициенты — значения коэффициентов и .

.Стандартная ошибка — стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

.t-статистика — расчетные значения t-критерия, вычисляемые по формуле:

t-статистика = Коэффициенты/стандартная ошибка.

Для проверки значимости полученные значения для всех коэффициентов сравниваются с критическим значением. критическое значение находится из таблиц распределения Стьюдента или с помощью статистической функции СТЮДРАСПОБР (0,05; n-k-1).

.Р-соответствующее вычисленной t-статистике:

Р-значение = СТЬЮДРАСП (t-статистика; n-k-1)

По величине Рзначения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало — меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 — коэффициент считается незначимым.

.Нижние 95% и верхние 95% — нижние и верхние границы 95% -ных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии.

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии на начальном этапе можно использовать следующее «грубое» правило, позволяющее на прибегать к таблицам:

Если |t| < 1, то коэффициент статистически незначим.

Если 1 < |t| < 2, то коэффициент относительно значим. В данном случае рекомендуется воспользоваться таблицами.

Если 2 < |t| < 3, то коэффициент значим. Это утверждение является гарантированным при числе степеней ν > 20 и α ≥ 0.05.

Если |t| > 3, то коэффициент считается сильно значимым. Вероятность ошибки в данном случае при достаточном числе наблюдений не превосходит 0.001.

3) этап верификациизаключается в оценке значимости уравнения в целом.

3.2) анализ предпосылок МНК

Метод наименьших квадратов строит оценки регрессии на основе минимизации суммы квадратов остатков. Поэтому очень важно исследовать поведение остаточных величин регрессии. Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно для получения достоверных результатов регрессии.

Исследования остатков предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

) случайный характер остатков;

) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от;

) гомоскедастичность — дисперсия каждого отклонения одинакова для значений x;

) отсутствие автокорреляции остатков — значения остатков распределены независимо друг от друга;

) остатки подчиняются нормальному распределению.

Если распределение случайных остатков не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК — отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения остатков , распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уровней.

Проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции можно с помощью графического анализа остатков. Для этого необходимо добавить в таблице «Вывод остатка» столбец «Остатки предыдущие» и построить точечную диаграмму зависимости «Остатков» от «Остатков предыдущих«, на которой добавить линию тренда.

Если наблюдается линия тренда отличная от нуля, то можно предположить наличие автокорреляции остатков.

Задание

Анализ факторов, влияющих на Прибыль при предоставлении услуг в области добычи сырой нефти и природного газа, в которой в качестве объясняемой выбрана переменная YПрибыль (убыток) (млн. руб.), в качестве объясняющих переменные выбраны

Х1 — долгосрочные обязательства;

Х2 — краткосрочные обязательства;

Х4 — основные средства;

Х6 — запасы готовой продукции и товаров для перепродажи.

Исходные данные для задачи

№ п/пYX1X2X4Х6519513178,052034182,02411352,047002385,01696853,0628973,0602229,074839,01545052,019474,07-780599,0311268,015737048,0740437,0176,082598165,0464651,04381403,011925177,0127937,09628091,0214411,03728587,02580485,073823,01029204,012039,0738811,0269908,0130,0111945560,09670,0716648,0229855,039667,012366170,0287992,0239076,0349643,05733,013-20493,01105293,08855,0934881,03319,014381558,027265,0265569,0697664,05763,0151225908,0431231,01525379,02231651,0430844,0163293989,037315847,08556455,023170344,038133,017416616,02122138,0258120,03509537,028393,018-564258,01395080,07958766,01290245,0236642,019221194,013429,0105123,0607249,04548,020701035,075554,0497028,04616250,08773,02162200,022195,01659245,0991114,00,022123440,012350,084026,0438262,024866,02355528,014686,0137348,075442,03949,024422070,052443,0662299,01269731,08212,025-468,0239255,029880,010870,0940,026225452,01292,087112,0227132,00,027-61237,0924951,0299733,0110970,011218,028-540,00,046139,021278,0127,02940588,01638,022683,0139209,07569,03053182,054758,01909328,0113113,00,031-210,08,016191,012685,046,03263058,0235731,0563481,0873886,00,0331197196,02232742,01083829,02307478,025862,034221177,04682,040664,0331954,01260,0351548768,084262,0413994,01138707,014716,036-33030,0106,052575,016705,00,037-34929,0103567,01769300,0393717,0833099,038115847,0275386,0432312,0517290,06824,03935198,020624,0169155,0484228,03227,040788567,033879,0647914,0402613,014021,041309053,099670,0211624,018776,01909,0428552,0257,099815,012381,02558,043173079,06120,0114223,0176126,016197,0441227017,033757,01930517,02063285,063810,045701728,0381050,0335238,059353,03886,04617927,053260,0101834,084818,0963,0472557698,04537040,021786237,03841845,026578,0480,0194091,064889,033112,07,0495406,01185,027941,038560,06465,05040997,0101706,039653,0178604,01035,0511580624,09285230,01476613,06546853,013516,0529990896,01645470,05066776,02329554,0391744,0536649,082229,01486511,078526,024001,05422868,03,076455,09067,00,0

Чтобы оценить тесноту связи между значениями этих переменных, вычислим воспользоваться функцией =КОРРЕЛ (), указав адреса пяти столбцов чисел. Ответ помещен в В56 G62.

Вычислим матрицу коэффициентов парной корреляции, проверим значимость коэффициентов корреляции:

Для построения корреляционного анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «анализ данных».

Выполняем следующие действия:

.Данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.

2.Выбрать команду «Сервис» → «анализ данных».

.В диалоговом окне «анализ данных» выбрать инструмент «Корреляция», а затем щелкнуть кнопку «ОК».

.В диалоговом окне «Корреляция» в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если введены и заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке».

.выбрать параметры вывода. В данном случае «новый рабочий лист».

.»ОК»

Рис. 5. Результаты корреляционного анализа

анализ матрицы коэффициентов парной корреляции начнем с анализа первого столбца матрицы, в котором расположены коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи, зависимой переменной объем продаж с включенными в анализ факторами. Анализ показывает, что зависимая переменная, то есть Прибыль (убыток), имеет тесную связь с основными средствами (ryx4 = 0,849), запасы готовой продукции и товаров для перепродажи (ryx6 = 0,8199) и долгосрочные обязательства (ryx1 = 0,783). Факторы Х2 имеет слабую связь с зависимой переменной и его не рекомендуется включать в модель регрессии.

Оценим значимость коэффициентов корреляции первого столбца матрицы. Для этого рассчитаем

Табличное значения критериев с табличным. Сделаем вывод, что tрасч > tтабл т.е. полученные значения коэффициентов корреляции значимы для долгосрочные обязательства (ryx1 = 0,783), для основных средст (ryx4 = 0,849) и запасы готовой продукции и товаров для перепродажи (ryx6 = 0,8199).

Значимость коэффициентов корреляции можно проверить, используя критическое значение коэффициента корреляции.

,

где критическое Так как в нашем примере критическое (табличное) значение критерия Стьюдента (α = 0,05; k = n — 2 = 48) равно 2,01, то критическое значение коэффициента корреляции будет равно 0,2787. Коэффициенты парной корреляции краткосрочных обязательств в анализируемой матрице меньше значение 0,2787 по абсолютной величине и следовательно будет не значимым, а все остальные коэффициенты парной корреляции в анализируемой матрице превышающие значение 0,2787 по абсолютной величине будут значимы.

затем перейдем к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления коллинеарности. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т.е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений. Один из подходов определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности заключается в анализе матрицы коэффициентов парной корреляции. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8.

Факторы Х1 и Х4 тесно связаны между собой (= 0,956), что свидетельствует о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим Х4 — основные средства, так как rx1y = 0,783 < rx4y = 0,849. В нашем примере из двух тесно связанных друг с другом факторов Х1 и Х4 ( = 0,956) один Х1 был исключен.

Таким образом, на основе анализа корреляционной матрицы для включения в модель регрессии остаются два фактора — основные средства и Запасы готовой продукции и товаров для перепродажи (n = 50, k =2).

Согласно разработанной методике, описанной в пункте 2.1 настоящей главы, проводится эконометрическое исследование мультиколлинеарности множественной регрессии.

Для всего этого необходимо провести эконометрический анализ всех данных, создать регрессионные модели, проверить параметры на качество и адекватность.

2.2 Пример эконометрического исследования мультиколлинеарности и ее устранение: исследование на мультиколлинеарность факторов, влияющих на зависимость курса доллара США с курсами евро, японской иены и английского фунта стерлингов и построение множественной регрессии с информативными факторами

В данной работе исследуются данные взаимосвязь курса доллара США с курсами евро, японской иены и английского фунта стерлингов. Имеются данные об официальных курсах валют, установленных Центральным Банком россии, за двенадцать дней.

Согласно разработанной методике, описанной в пункте 2.1 настоящей главы, проводится эконометрическое исследование мульколлинеарности множественной регрессии.

1)Спецификация

.1) Графический анализ исходных данных

На этапе спецификации, в соответствии с обозначенными в методике подпунктами, в первую очередь необходимо провести графический анализ данных. Для этого в программе MSExcel исходные данные представляются в табличном виде, и по этим данным создается точечная диаграмма (Рис. 2.1).

Рис. 2.1 — исходные данные и диаграмма рассеивания Yна x

На основании диаграммы рассеяния, изображенной на рисунке 1, можно сделать вывод о позитивной зависимости расходов на продукты питания от объема поступления родительской платы (т.е. Y будет расти с ростом x). наиболее подходящая форма функциональной связи — линейная.

1.2) Выбор модели регрессии

Выбор модели регрессии необходимо делать на основании описанной методики (Рис. 2.2).

Рис. 2.2 — Выбор модели регрессии

различные линии тренда и соответствующие им коэффициенты регрессии позволяют сделать выбор в пользу конкретной модели.

анализ полученных результатов позволяет остановить свой выбор на линейной модели, так как коэффициенты детерминации для всех моделей имеет равное целесообразно применить более простую линейную функцию.

2)Параметризация

результат автоматизированного регрессионного анализа, проведенного с помощью инструмента MSExcel «анализ данных — Регрессия» представлен на рисунке 2.3.

Рис. 2.3 — результат автоматизированного регрессионного анализа

Данные регрессионного автоматизированного анализа, необходимые для оценки коэффициентов регрессии представлены на рисунке 2.4.

Рис. 2.4 — результат регрессионного анализа коэффициентов

Уравнение регрессии имеет следующий вид

.1) Оценка параметра

Коэффициент , в таблице анализа — это Y-пересечение.

Формально — случае признак-фактор x не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.

стандартная ошибка коэффициента .

Проверка значимости коэффициента регрессии по значению t-статистики:

критическое значение распределения Стьюдента для вероятности 0,05 и число степеней свободы () равно 2,306004133. Так как, то коэффициент может быть признан статистически значимым.

Проверка значимости коэффициента регрессии по Р-значению:

значит, коэффициент статистически значим.

Результаты оценивания регрессии совместимы не только с полученным значением коэффициента , но и с некоторым его множеством (доверительным интервалом). С вероятностью 95% доверительный интервал для коэффициента (24,9380674; 37,97062).такого рода запись указывает, что истинное Проведенная оценка означает, что в данном случае свободным членом уравнения регрессии не следует пренебрегать.

2.1) Оценка параметра

Коэффициент — 0,211516432, в таблице анализа — переменная .

Коэффициент показывает, что при увеличении курса евро на 1 тыс. руб. курс доллара уменьшится в среднем на 0,211516432 тыс. руб.

стандартная ошибка коэффициента 0,074134546.

Проверка значимости коэффициента регрессии по значению t-статистики: -2,853142598

критическое значение распределения Стьюдента для вероятности 0,05 и число степеней свободы() равно 2,306004133. Так как , то коэффициент не может быть признан статистически значимым.

Проверка значимости коэффициента регрессии по Р-значению:

0,02137553 — значит коэффициент статистически значим.

Результаты оценивания регрессии совместимы не только с полученным значением коэффициента , но и с некоторым его множеством (доверительным интервалом). С вероятностью 95% доверительный интервал для коэффициента (0,791155066; 0,805279746).

3)Верификация.

.1) Экспресс-верификация

На этапе экспресс — верификации необходимо сделать вывод о значимости уравнения в целом на основании коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, скорректированного коэффициента множественной корреляции, F-критерия, и его Значимости F, уже полученные с помощью инструмента «регрессия

Рис. 2.5 — Регрессионная статистика и дисперсионный анализ

Из раздела Регрессионная статистика получаем, что схожие по смыслу коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент множественной корреляции близки к 1. , скорректированный коэффициент детерминации равен 0,906320743, что так же близко к 1, но считается, что он точнее отражает степень адекватности модели.

Коэффициент корреляции (множественный R) равен 0,965333948, что свидетельствует о очень тесной связи между курсами валют.

Величина означает, что фактор курса доллара можно объяснить 93,1869631 % вариации включенных в модель факторов.

В разделе Дисперсионный анализ получаем, что наблюдаемое значение F-критерия значительно больше критического (36,47397974 > 4,066), значит, гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Значимость F — это вероятность значимости Fкритерия. В данном случае она фактически равна нулю (5,155687,66435* 0), то есть гипотеза отвергается и уравнение считается значимым.

Экспресс анализ показал, что постоянное уравнение регрессии в целом значимо.

.2) Проверка модели на мультиколлинеарность

Осуществим анализ матрицы парных корреляций на предмет мультиколлинеарности.

Рис. 5. Результаты корреляционного анализа

затем перейдем к анализу остальных столбцов матрицы с целью выявления коллинеарности. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т.е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных, которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений. Один из подходов определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности заключается в анализе матрицы коэффициентов парной корреляции. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,8. Факторы Х1 и Х3 тесно связаны между собой (= 0,8296), что свидетельствует о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим Х1 — курс евро, так как ?rx1y ?= 0,9253 < ?rx3y ?= 0,7171. В нашем примере из двух тесно связанных друг с другом факторов Х1 и Х3 ( = 0,8296) один Х3 был исключен.

Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель множественной регрессии. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

На первом этапе включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «анализ данных», инструмент «Регрессия». Применение инструмента «регрессия(Анализ данных EXCEL)

Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнить следующие действия:

1.Выбрать команду «Сервис»→ «анализ данных».

2.В диалоговом окне «анализ данных» выбрать инструмент «регрессияа затем щёлкнуть по кнопке ОК.

3.В диалоговом окне «регрессияв поле «Входной интервал » ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле «Входной интервал Х» ввести адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных.

.Если введены и заголовки столбцов, то следует установить флажок «Метки в первой строке».

.выбрать параметры вывода. В данном случае «новая рабочая книга».

.ОК.

Результаты представлены в таблице 3.

Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,965, свидетельствует о тесной связи между признаками. Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 93,2% вариации зависимой переменной (объем реализации) учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов (затраты на телерекламу, радиорекламу, газетную рекламу и наружную рекламу) и на 6,8% — другими факторами, не включенными в модель.

Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: ; и Табличное значение критерия при уровне значимости и числе степеней свободы равно 2,36. таким образом, на этом шаге исключается тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшую t-статистику, а именно фактор затраты на газетную рекламу .

На втором шаге построим модель зависимости объема реализации от затрат на телерекламу, радиорекламу и наружную рекламу. Расчеты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,965, свидетельствует о тесной связи между признаками.

Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 93% вариации зависимой переменной (объем реализации) учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов (затраты на телерекламу, радиорекламу, газетную рекламу и наружную рекламу) и на 7% — другими факторами, не включенными в модель.

Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: ; . Табличное значение критерия при уровне значимости и числе степеней свободы равно 2,36. таким образом, на этом шаге все факторы значимые.

Наилучшим является модель с включенными двумя факторами, она имеет наиболее высокие показатели корреляции и детерминации.

Для того чтобы составить уравнение регрессии воспользуемся результатами произведенных действий см. Таблицу 4

Для того чтобы составить уравнение регрессии по нашим данным, проанализируем полученные итоги. Найдем графу «Коэффициенты» в Таблице 3. значения для х1 = — 0,238, для х2 =0, 193.

Уравнение регрессии зависимости прибыли от оборотных активов, основных средств и дебиторская задолженность (краткосрочная) можно записать в следующем виде:

Экономический смысл коэффициентов , , в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении на один процентный пункт, измениться в направлении уменьшения на 0,24 ед.; при изменении на один процентный пункт, измениться в направлении увеличения на 0,19 ед.

Заключение

Эконометрический метод складывался в преодолении трудностей, искажающих результаты применения классических статистических методов, таких как ложная корреляция, асимметричность связей, мультиколлинеарность связей, автокорреляции, ложной корреляции, наличия лагов и, наконец, эффект гетероскедастичности.

В настоящей курсовой работе были рассмотрен теоретический подход к области множественной регрессии. Инструментарий эконометрического исследования в области мультиколлинеарности: методы устранения мультиколлинеарности.

Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования проиллюстрировано при решении задачи разработки стратегии, влияющие на прибыль: долгосрочные обязательства, краткосрочные обязательства, оборотные активы и основные средства.

Для обоснования модели в курсовой работе рассмотрена множественная линейная математическая модель.

Ведущий экономист открытого акционерного общества «Геолого — разведочный исследовательский центр», для разработки указанной стратегии, он собрал информацию о работе в данной области различных компаний и определил факторы, влияющие на Прибыль: долгосрочные обязательства, краткосрочные обязательства, оборотные активы и основные средства.

Исследуется взаимосвязь курса доллара США с курсами евро, японской иены и английского фунта стерлингов. Имеются данные об официальных курсах валют, установленных Центральным Банком россии, за двенадцать дней:

Факторы Х1 и Х3 тесно связаны между собой (= 0,8296), что свидетельствует о наличии коллинеарности. Из этих двух переменных оставим Х1 — курс евро, так как ?rx1y ?= 0,9253 < ?rx3y ?= 0,7171. В нашем примере из двух тесно связанных друг с другом факторов Х1 и Х3 ( = 0,8296) один Х3 был исключен.

Уравнение регрессии зависимости прибыли от оборотных активов, основных средств и дебиторская задолженность (краткосрочная) можно записать в следующем виде:

Экономический смысл коэффициентов , , в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении на один процентный пункт, измениться в направлении уменьшения на 0,24 ед.; при изменении на один процентный пункт, измениться в направлении увеличения на 0,19 ед.

список используемых источников

1.Кетова К.В., Русяк И.Г. Экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала // Экономика, статистика, информатика. Вестник УМО. 2007. № 2. С. 56-60.

2.Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2003. 206 с.

3.Отчетность об исполнении консолидированного бюджета РФ, Министерство финансов Российской Федерации, Федеральное казначейство (Казначейство россии) URL: (дата обращения 30.05.2012).

.Валентинов В.А. Эконометрика. — М.: ИТК «Дашков и Ко», 2010.

.Гмурманв.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2002.

.Домбровский В.В. Эконометрика. — М.: новый учебник, 2014.

.Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 2010.

.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

.Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. начальный курс. — М.: Дело, 2010.

.Мандас А.Н. Эконометрика. — СПб: Питер, 2011.

.Прикладная статистика. основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. — Т.1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

.Прикладная статистика. основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. — Т.2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

.Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2013.

.Математико-статистические таблицы:

.Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05.

.Критические значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01 (двухсторонний).

Учебная работа. Мультиколлинеарность и ее эффекты